Структура алгебраического выражения
Алгебраическое выражение — это запись, составленная из чисел, переменных, знаков действий и скобок. Чтобы правильно вычислять и преобразовывать такие записи, нужно уметь находить их части: переменные, коэффициенты, слагаемые, свободные члены и операции.
Из чего состоит алгебраическое выражение
Алгебраическое выражение может содержать числа, буквы и знаки арифметических действий. Например, \(3x^2-5x+7\) — это выражение с переменной \(x\). В нём выполняются возведение в степень, умножение, вычитание и сложение.
Алгебраическое выражение — это запись, в которой числа и переменные соединены знаками действий и скобками. Например: \(4a-2\), \(\frac{x+1}{x-3}\), \(2(m+n)^2\).
В выражении \(8y-3\) число \(8\) умножается на переменную \(y\), а затем из результата вычитается число \(3\). Знак умножения между числом и буквой обычно не записывают: \(8\cdot y=8y\).
- Числа и буквы — значения, из которых строится выражение.
- Знаки \(+\), \(-\), \(\cdot\), \(:\) и степень показывают операции.
- Скобки задают порядок выполнения действий.
- Переменная может принимать разные допустимые значения.
Подробное перечисление частей можно посмотреть на странице состав алгебраического выражения, а отдельный элемент выражения называют членом алгебраического выражения.
Переменная, коэффициент и свободный член
Переменная — буква, которая обозначает некоторое число. Например, в выражении \(5x+2\) переменная — \(x\). Если значение переменной известно, выражение можно вычислить.
Коэффициент при переменной — числовой множитель этой переменной. В одночлене \(-7a^2\) коэффициент равен \(-7\), а буквенная часть — \(a^2\). Если множитель не написан, коэффициент равен \(1\): \(x=1\cdot x\). Если перед буквой стоит знак минус, коэффициент равен \(-1\): \(-y=-1\cdot y\).
Свободный член — слагаемое, не содержащее переменных. В выражении \(4x^2-9x+12\) свободный член — \(12\). В выражении \(3a-5\) он равен \(-5\), поскольку знак минус относится ко всему числу.
| Выражение | Переменная | Коэффициент | Свободный член |
|---|---|---|---|
| \(6x+1\) | \(x\) | \(6\) | \(1\) |
| \(-b^2+4b-8\) | \(b\) | \(-1\) у \(b^2\), \(4\) у \(b\) | \(-8\) |
| \(9-2m\) | \(m\) | \(-2\) | \(9\) |
Не путайте коэффициент и показатель степени. В выражении \(5x^3\) коэффициент равен \(5\), а показатель степени переменной \(x\) равен \(3\). Число \(3\) не является коэффициентом.
Слагаемые и алгебраические операции
Слагаемые — это части выражения, соединённые знаками сложения или вычитания. В выражении \(2x^2-3x+6\) три слагаемых: \(2x^2\), \(-3x\) и \(6\). Для удобства вычитание рассматривают как прибавление противоположного числа: \(2x^2-3x+6=2x^2+(-3x)+6\).
Каждое слагаемое может быть одночленом, то есть произведением числового коэффициента и степеней переменных. Сумма или разность нескольких одночленов называется многочленом. Например, \(x^2+4x-1\) — многочлен из трёх слагаемых.
Основные операции имеют разный приоритет: сначала выполняют действия в скобках, затем степени, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковый приоритет, их выполняют слева направо.
В выражении без скобок сначала вычисляют степени, затем умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Скобки изменяют этот порядок: сначала преобразуют их содержимое.
Каков коэффициент при \(x\) в выражении \(-x+4x^2-7\)?
Как читать и упрощать выражение
Чтобы разобрать выражение, действуйте по плану: найдите переменные; отделите слагаемые по знакам \(+\) и \(-\); в каждом слагаемом определите коэффициент и буквенную часть; проверьте наличие свободного члена; определите порядок действий и ограничения на переменные.
Слагаемые с одинаковой буквенной частью называют подобными слагаемыми. Их можно объединять, складывая коэффициенты. Например, \(3x+5x=8x\), а \(4a^2-a^2=3a^2\). Слагаемые \(x\) и \(x^2\) не являются подобными, потому что степени переменной различаются.
Такое преобразование называют приведением подобных слагаемых. При раскрытии скобок важно учитывать знак перед скобками: \(-(x-4)=-x+4\). Это правило подробно связано с раскрытием скобок.
Мысленно ставьте знак каждого слагаемого перед ним. Тогда в записи \(7-2x+3x^2\) удобно видеть слагаемые \(7\), \(-2x\) и \(3x^2\), а не ошибаться со знаком второго члена.
Разобранный пример: анализ и упрощение
Разберём выражение \(2(3x-4)-x+9\): найдём его части и упростим.
Если требуется вычислить значение выражения, после упрощения подставляют значение переменной. Например, при \(x=2\): \(5x+1=5\cdot2+1=11\). Для дробных выражений сначала нужно проверить область допустимых значений выражения: знаменатель не может быть равен нулю.
Нельзя складывать коэффициенты у неподобных слагаемых: \(2x+3x^2\ne5x^2\). Также нельзя заменять \(-(a-b)\) на \(-a-b\): правильное раскрытие скобок даёт \(-a+b\).
Формулы и тождественные преобразования
Иногда разные записи обозначают одно и то же число при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства называют тождествами, а действия по переходу от одной записи к другой — тождественными преобразованиями выражений.
Чтобы умножить число или выражение на сумму, умножают его на каждое слагаемое: \(a(b+c)=ab+ac\). Для разности действует правило \(a(b-c)=ab-ac\).
Это свойство позволяет раскрывать скобки и, наоборот, выполнять вынесение общего множителя за скобки. Например, \(6x+9=3(2x+3)\). Такие преобразования часто нужны перед решением экзаменационных заданий на вычисление значения выражения.
Быстрая проверка
Главное
- Алгебраическое выражение состоит из чисел, переменных, операций и скобок.
- Переменная обозначает число, коэффициент является числовым множителем, а свободный член не содержит переменных.
- Слагаемые разделяются знаками сложения и вычитания; знак минус входит в соответствующее слагаемое.
- Подобные слагаемые объединяют сложением коэффициентов.
- При преобразованиях соблюдайте порядок действий и распределительное свойство: \(a(b+c)=ab+ac\).