Тождественные преобразования выражений
Тождественные преобразования помогают заменить выражение другим, равным ему при всех допустимых значениях переменных. В этой теме систематизированы три основных приёма: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и разложение на множители.
Что называют тождественным преобразованием
Алгебраическое выражение состоит из чисел, переменных, знаков действий и скобок. Его строение удобно повторить на странице структура алгебраического выражения. При преобразовании запись меняется, но её значение сохраняется для всех значений переменных, при которых исходное выражение имеет смысл.
Тождественным преобразованием выражения называют замену этого выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях переменных. Например, \(3(x+2)\) и \(3x+6\) тождественно равны.
Важно учитывать область допустимых значений. Нельзя без проверки сокращать множитель, который может быть равен нулю, а также умножать или делить обе части равенства на выражение с неизвестным нулевым значением.
Если выполнить одно или несколько верных преобразований, значение выражения не изменится. Равенство двух выражений, верное при всех допустимых значениях переменных, называют тождеством.
Раскрытие скобок
Раскрытие скобок основано на распределительном законе умножения. Перед скобками может стоять число, переменная или знак «минус». Каждый член внутри скобок умножают на множитель перед скобками.
Если перед скобками стоит минус, это то же самое, что умножение на \(-1\): знаки всех слагаемых внутри скобок меняются.
При двух скобках используют почленное умножение: каждый член первой скобки умножают на каждый член второй. Затем раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые.
Посчитайте количество произведений. В произведении двух двучленов должно получиться четыре произведения: первый на первый, первый на второй, второй на первый и второй на второй.
Как раскрыть скобки в выражении \(-2(3x-5)\)?
Приведение подобных слагаемых
После раскрытия скобок обычно появляются слагаемые, которые можно объединить. Эту операцию подробно рассматривают на странице приведение подобных слагаемых. Здесь достаточно помнить главный алгоритм: определить подобные слагаемые, сложить их коэффициенты и сохранить общую буквенную часть.
Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть с одинаковыми показателями степеней. Их коэффициенты могут быть разными. Например, \(7a^2b\) и \(-3a^2b\) подобны, а \(7a^2b\) и \(7ab^2\) — нет.
Сначала упорядочивают выражение: записывают члены с одинаковой буквенной частью рядом, а затем складывают коэффициенты. Числовые слагаемые также являются подобными: \(8\), \(-3\) и \(\frac{1}{2}\) можно объединить.
Нельзя складывать показатели степеней при сложении подобных слагаемых. Например, \(x^2+x^2=2x^2\), а не \(x^4\). Правило \(x^m\cdot x^n=x^{m+n}\) относится к умножению, а не к сложению.
Разложение на множители
Разложение на множители — преобразование суммы или разности в произведение. Оно является обратным действием к раскрытию скобок. Один из основных способов — вынесение общего множителя за скобки.
Чтобы вынести общий множитель, найдите наибольший общий числовой множитель коэффициентов и общую буквенную часть. Каждый член разделите на найденный множитель, а результаты запишите в скобках.
Например, в выражении \(12x^3-18x^2\) общий множитель равен \(6x^2\): \(12x^3-18x^2=6x^2(2x-3)\). После преобразования полезно раскрыть скобки обратно и проверить результат.
Другие важные формулы сокращённого умножения связывают с разложением на множители. Квадрат суммы и квадрат разности применяют в обе стороны.
Формулы для суммы и разности кубов изучаются отдельно на страницах сумма кубов и разность кубов. При работе со степенями полезны законы степеней и степень произведения.
Общий алгоритм преобразования
- Определите цель: упростить выражение, привести его к многочлену или представить в виде произведения.
- Раскройте скобки, начиная с внутренних, если перед ними стоит множитель или знак «минус».
- Соберите подобные слагаемые и приведите их к стандартному виду.
- Если требуется разложение на множители, найдите общий множитель или подходящую формулу сокращённого умножения.
- Проверьте результат раскрытием скобок или подстановкой простого допустимого значения переменной.
Упростим выражение \(2(3x-4)-(x-5)(x+2)\).
Ответ: \(-x^2+9x+2\). Ошибка в знаке перед вторым произведением изменила бы сразу все три слагаемых, поэтому промежуточную строку лучше записывать полностью.
Как выбирать способ преобразования
| Что дано | Что сделать | Пример |
|---|---|---|
| Множитель перед скобками | Раскрыть скобки | \(-3(2a-1)=-6a+3\) |
| Несколько слагаемых с одинаковой буквенной частью | Привести подобные | \(4y-7y=-3y\) |
| У всех членов есть общий множитель | Вынести его за скобки | \(10p^2+15p=5p(2p+3)\) |
| Разность квадратов | Применить формулу | \(z^2-16=(z-4)(z+4)\) |
| Квадрат двучлена | Распознать формулу | \(q^2+6q+9=(q+3)^2\) |
Не теряйте знак «минус» перед скобками; не забывайте умножать множитель на каждый член скобок; не объединяйте неподобные слагаемые; не сокращайте слагаемые в сумме по отдельности; после разложения проверяйте результат обратным раскрытием скобок.
Распределительный закон, формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов. Эти равенства позволяют быстро переходить от суммы к произведению и обратно.
Самопроверка
Проверьте себя
Главное
- Тождественное преобразование сохраняет значение выражения при всех допустимых значениях переменных.
- При раскрытии скобок множитель умножают на каждый член; знак «минус» меняет знаки всех членов скобок.
- Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть с одинаковыми показателями степеней.
- Разложение на множители выполняют вынесением общего множителя или применением формул сокращённого умножения.
- Любой результат полезно проверить обратным раскрытием скобок или подстановкой допустимого значения.