Задание № 14 · ЕГЭ

Сумма кубов

Формула разложения суммы двух кубов на множители

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Сумма кубов — это выражение вида $a^3+b^3$. Его можно разложить на произведение двучлена и трёхчлена: сумма кубов равна сумме оснований, умноженной на неполный квадрат их разности.

Сумма кубовНазвание связано с тем, что складываются два куба: $a^3$ и $b^3$.

Сумма кубов — выражение $a^3+b^3$, являющееся суммой третьих степеней двух выражений $a$ и $b$. Для его разложения на множители применяют тождество $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Формула

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]

В первом множителе стоит сумма оснований: $a+b$. Второй множитель содержит квадраты оснований и их произведение: $a^2-ab+b^2$. Знак перед произведением $ab$ — минус, хотя слева стоит сумма кубов. Это тождество можно применять в обе стороны: для разложения на множители и для раскрытия скобок.

№

Пример

Разложим $8x^3+27$ на множители. Заметим, что $8x^3=(2x)^3$, а $27=3^3$. Тогда $a=2x$, $b=3$: $8x^3+27=(2x+3)((2x)^2-(2x)\cdot3+3^2)=(2x+3)(4x^2-6x+9)$. При необходимости сначала применяют вынесение общего множителя за скобки, а затем формулу.

Не перепутайте

Сумма кубов и разность кубов имеют разные формулы. Для суммы: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$; для разности: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Внутри трёхчлена знак противоположен знаку между кубами.

Проверьте себя

Как разложить $x^3+8$ на множители?

Главное за минуту

Главное

Сумма кубов раскладывается по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
В первом множителе сохраняется знак суммы, а в трёхчлене перед $ab$ ставится противоположный знак.
Перед применением формулы представьте каждый член как куб: например, $8x^3=(2x)^3$, $27=3^3$.

Формула

Как разложить \(x^3+8\) на множители?

Главное