Куб разности
Куб разности — это результат возведения разности двух выражений в третью степень. Чтобы раскрыть скобки без многошагового умножения, используют формулу сокращённого умножения.
Формула куба разности
Знаки в правой части чередуются: «плюс, минус, плюс, минус» после раскрытия скобок. Коэффициенты средних слагаемых равны \(3\). Формула является тождеством: её можно применять при любых допустимых значениях \(a\) и \(b\).
Для распознавания тождества удобно проверить четыре признака: слева стоит куб разности; справа — четыре слагаемых; степени выражений убывают от третьей до нулевой; коэффициенты имеют вид \(1\), \(-3\), \(3\), \(-1\). В составе алгебраического выражения важно учитывать каждый множитель и его степень.
Выражение \(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\) совпадает с правой частью формулы при \(a=x\), \(b=y\). Поэтому его можно свернуть: \(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=(x-y)^3\).
В квадрате разности три слагаемых, а в кубе разности — четыре. Кроме того, \((a-b)^3\) нельзя заменять на \(a^3-b^3\): это выражение связано с разностью кубов, у которой другая формула.
Как свернуть выражение \(8x^3-36x^2+54x-27\)?
Главное
- \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\).
- При распознавании проверяйте четыре слагаемых, коэффициенты \(3\) и чередование знаков.
- Формула позволяет выполнять тождественные преобразования и сворачивать выражения в куб разности.