Двойной радикал
Двойной радикал — это выражение, в котором один квадратный корень находится под знаком другого корня. В простейших случаях такой радикал можно представить в виде суммы или разности двух обычных корней.
Основная формула
Чтобы упростить двойной радикал, ищут числа \(x\) и \(y\), для которых выражение можно записать как \((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\) или \((\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\). Используют формулу квадрата суммы или разности.
Из условий получают \(xy=\frac{b^2c}{4}\). Затем находят \(x\) и \(y\) и проверяют результат возведением в квадрат. При знаке «минус» используют \(\sqrt{x}-\sqrt{y}\), предполагая \(x\ge y\). Такой приём является частным случаем упрощения выражений с корнями.
Упростим \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\). Нужно представить \(5\) как сумму двух чисел, а \(6\) — как их произведение: \(5=3+2\), \(6=3\cdot2\). Поэтому \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\), поскольку \((\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=5+2\sqrt{6}\).
Нельзя раскрывать внешний корень по правилу \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\): это неверно. Например, \(\sqrt{5}\ne\sqrt{3}+\sqrt{2}\). Разложение двойного радикала возможно только после проверки специального равенства. Также не следует путать его с корнем из степени.
Чему равно \(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\)?
Главное
- Двойной радикал содержит корень внутри другого корня.
- Для упрощения подбирают \(x\) и \(y\) по условиям \(x+y=a\) и \(xy=\frac{b^2c}{4}\).
- Результат всегда проверяют возведением в квадрат; подробнее о действиях с радикалами см. преобразование выражений с радикалами.