Законы дробных степеней
Дробная степень — это степень с рациональным показателем, например \(a^{\frac{2}{3}}\) или \(x^{-\frac{5}{4}}\). В этой теме важно не только помнить законы степеней, но и учитывать область допустимых значений: при чётном знаменателе показателя основание обычно должно быть неотрицательным.
Что означает рациональный показатель
Рациональный показатель записывают в виде \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное число. Для положительного основания \(a\) дробная степень определяется через корень: сначала извлекают корень \(n\)-й степени, затем возводят результат в степень $m.
При \(a>0\), \(n\in\mathbb N\) и \(m\in\mathbb Z\) справедливо \(a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\). Это определение дробной степени; подробнее оно рассматривается на странице определения дробной степени.
Если \(n\) нечётно, корень \(n\)-й степени существует и для отрицательного подкоренного выражения. Если \(n\) чётно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Поэтому запись \((-8)^{\frac{2}{3}}\) допустима: знаменатель показателя нечётный. А выражение \((-8)^{\frac{1}{2}}\) в действительных числах не имеет смысла.
Показатель лучше предварительно сократить: \(a^{\frac{6}{8}}=a^{\frac{3}{4}}\). Тогда показатель корня становится меньше, а вычисления — проще. Переход между корнем и степенью разобран на страницах перехода от корня к дробной степени и перехода от дробной степени к корню.
Основные законы дробных степеней
Для положительных оснований \(a\) и \(b\) законы степеней сохраняют обычный вид. Рациональные показатели можно складывать, вычитать и умножать так же, как целые показатели.
При \(a>0\), \(b>0\) и рациональных \(r,s\) выполняются правила: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются; при делении — вычитаются; при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Например, \(x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x^1=x\), а \(\frac{y^{\frac{7}{5}}}{y^{\frac{2}{5}}}=y^1=y\). При возведении в степень важно перемножить показатели: \(\left(z^{\frac{3}{4}}\right)^2=z^{\frac{3}{2}}\).
Отрицательный показатель означает обратное число: \(a^{-r}=\frac{1}{a^r}\) при \(a\ne0\). Например, \(x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\). Сначала можно убрать минус из показателя, а затем применять остальные законы.
Упростите выражение \(a^{\frac{5}{6}}\cdot a^{-\frac{1}{3}}\) при \(a>0\).
Как преобразовывать выражения
Чтобы упростить выражение с дробными степенями, удобно действовать по алгоритму. Он особенно полезен в заданиях, где нужно привести подобные степени, избавиться от отрицательных показателей или вычислить значение.
- Определите область допустимых значений: какие основания не должны равняться нулю и какие выражения должны быть неотрицательными.
- Представьте корни как степени или степени как корни, если это делает выражение понятнее.
- Разложите числа и переменные на степени с удобными основаниями.
- Примените законы степеней, аккуратно выполняя действия с дробями.
- Если возможно, замените результат целой степенью, корнем или числом.
Упростим выражение \(\frac{8^{\frac{2}{3}}\cdot 27^{-\frac{1}{3}}}{2^{-1}}\). Все основания положительны, поэтому законы степеней применимы без дополнительных ограничений.
Ответ: \(\frac{8}{3}\). Этот способ удобен, когда числа являются точными степенями и показатель корня сокращается с показателем числа.
Область допустимых значений и знаки
Законы степеней нельзя применять механически к любым выражениям. Сначала проверьте, определены ли исходные степени в действительных числах. При работе с переменной полезно обратиться к страницам условий существования корня и знака значения выражения.
| Выражение | Условие в действительных числах | Комментарий |
|---|---|---|
| \(x^{\frac{1}{2}}\) | \(x\ge0\) | Знаменатель показателя чётный |
| \(x^{\frac{1}{3}}\) | \(x\in\mathbb R\) | Кубический корень существует при любом \(x\) |
| \(x^{-\frac{2}{3}}\) | \(x\ne0\) | Отрицательный показатель даёт деление на степень |
| \(\frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{2}}}\) | \(x>2\) | Корень должен быть положительным, так как стоит в знаменателе |
1. Нельзя складывать показатели при сложении: \(a^r+a^s\ne a^{r+s}\). 2. Нельзя раскрывать сумму под степенью: \((a+b)^r\ne a^r+b^r\) в общем случае. 3. Нельзя сокращать основание, если оно может быть равно нулю в выражении с отрицательным показателем. 4. При чётном корне нельзя забывать условие неотрицательности подкоренного выражения. 5. Запись \(\sqrt{x^2}=x\) неверна для всех \(x\): правильно \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Сочетание нескольких законов
В сложных выражениях сначала удобно работать с одинаковыми основаниями. Если основания разные, разложите числа на простые множители или вынесите общий множитель. Например, \(16^{\frac{3}{4}}=(2^4)^{\frac{3}{4}}=2^3=8\), а \(81^{-\frac{3}{4}}=(3^4)^{-\frac{3}{4}}=3^{-3}=\frac1{27}\).
Если буквенное основание может быть отрицательным, переход к некоторым преобразованиям требует осторожности. В школьных заданиях обычно явно указывают \(x>0\), \(a>0\) или другое условие. При отсутствии условия проверяйте, не меняется ли область определения после преобразования.
Чтобы сравнить \(a^r\) и \(a^s\) при \(a>1\), достаточно сравнить показатели: больше показатель — больше значение. При \(0<a<1\) порядок меняется: больше показатель даёт меньшее значение. Для оценки выражений полезна страница оценке значения выражения.
Связь с другими способами записи
Одно и то же выражение можно записать через корень или дробную степень: \(\sqrt[5]{x^3}=x^{\frac35}\), а \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\). Выбор записи зависит от задачи. Законы степеней обычно удобнее применять в показательной записи, а точное вычисление иногда проще выполнять через корень.
Перед вычислением выражения полезно использовать алгоритм вычисления значения выражения, а при наличии нескольких действий — учитывать порядок действий и знаки, описанные на странице знаках действий в выражении.
Быстрая проверка
Главное
- Дробная степень определяется правилом \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) при допустимых значениях основания.
- При умножении степени с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.
- Отрицательный показатель означает обратное число: \(a^{-r}=\frac1{a^r}\).
- Перед преобразованиями проверяйте область допустимых значений, особенно при чётном корне и отрицательном показателе.
- Нельзя применять законы степеней к сложению и раскрывать степень суммы без специальных условий.