Степенное выражение с дробным показателем
Степенное выражение с дробным показателем удобно преобразовывать в корень, а затем упрощать по известным правилам. Главная цель — не только получить ответ, но и проверить, что основание и показатель допускают выполненные преобразования.
Эта тема является частью страницы степенное выражение. Перед изучением полезно повторить дробную степень и законы дробных степеней: здесь они применяются к вычислению и преобразованию выражений экзаменационного уровня.
Определение дробной степени
Для натуральных чисел \(m\) и \(n\), где \(n>1\), дробная степень определяется так: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\). При положительном основании также верно \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\). Число \(m\) называют числителем, а \(n\) — знаменателем показателя степени.
Если показатель отрицательный, сначала используют правило отрицательной степени: \(a^{-r}=\frac{1}{a^r}\), где \(a\ne0\). Например, \(16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{16^{\frac34}}\).
Если знаменатель \(n\) чётный, то для выражения \(a^{\frac{m}{n}}\) в действительных числах требуется \(a\ge0\). Если \(n\) нечётный, корень определён при любом действительном \(a\). При отрицательном показателе дополнительно требуется \(a\ne0\).
Показатель следует сокращать перед проверкой условий. Например, \(a^{\frac{2}{4}}=a^{\frac12}\), поэтому фактически используется квадратный корень и требуется \(a\ge0\). Это связано с областью допустимых значений степенного выражения.
Основные формулы преобразования
При вычислении выбирайте форму, которая быстрее приводит к целому корню. Если степень содержит знаменатель \(2\), удобно перейти к квадратному корню; при знаменателе \(3\) — к кубическому. Например, \(81^{\frac34}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=3^3=27\).
Если основание можно представить как степень с тем же знаменателем, дробный показатель исчезает: \(32^{\frac25}=(2^5)^{\frac25}=2^2=4\). В выражениях с произведением сначала разложите числа на простые множители, а затем объединяйте одинаковые основания.
Порядок решения заданий
- Сократите дробный показатель, если это возможно.
- Проверьте ОДЗ: знак основания и запрет нулевого основания при отрицательном показателе.
- Представьте основание как степень, произведение или частное удобных чисел.
- Примените определение дробной степени или законы степеней.
- Вычислите полученное выражение и проверьте знак ответа.
Особенно внимательно работайте со скобками. Запись \((-8)^{\frac23}\) означает степень всего отрицательного числа, а \(-8^{\frac23}\) обычно означает противоположное число к \(8^{\frac23}\). Эти выражения могут иметь разные значения.
Какое значение имеет выражение \(27^{\frac23}\)?
Разобранный пример экзаменационного уровня
Вычислим \(\frac{16^{\frac34}\cdot 8^{\frac23}}{4^{\frac12}}\).
Ответ: \(16\). Проверка знака проста: все основания положительны, поэтому каждый множитель положителен, а результат действительно положителен.
Отрицательные основания и отрицательные показатели
Для отрицательного основания важно, чётный или нечётный знаменатель дроби. Например, \((-27)^{\frac13}=\sqrt[3]{-27}=-3\), потому что кубический корень существует для отрицательного числа. А выражение \((-16)^{\frac34}\) в действительных числах не определено: после сокращения показатель не меняется, а корень четвёртой степени из отрицательного числа не существует.
Отрицательный показатель не меняет требования к корню, но запрещает нулевое основание. Например, \(0^{-\frac23}\) не существует, поскольку это обратное число к \(0^{\frac23}=0\).
1. Нельзя считать, что \(a^{\frac{m}{n}}=\frac{a^m}{n}\). Правильно: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\). 2. Нельзя извлекать корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах. 3. Нельзя забывать скобки: \((-9)^{\frac12}\) не существует, а \(-9^{\frac12}=-3\). 4. При делении степеней основание должно быть ненулевым. 5. Формула \(\sqrt{x^2}=x\) верна только при \(x\ge0\); в общем случае \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Смешанные выражения и рационализация
В ответах могут встречаться суммы, дроби и корни. Сначала упрощайте каждую степень отдельно, затем выполняйте арифметические действия. Если после преобразования в знаменателе остаётся корень, применяйте рационализацию знаменателя с одним корнем. Для выражений вида \(\frac{1}{a+\sqrt b}\) может понадобиться рационализация знаменателя с двучленом.
Не объединяйте разные радикалы без основания: \(\sqrt2+\sqrt8=\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2\), но \(\sqrt2+\sqrt3\) упростить до одного корня нельзя. Правила для таких преобразований разобраны на странице сложение и вычитание радикалов.
При вычислении \(a^{m/n}\) числитель показывает степень, а знаменатель — корень: сначала можно извлечь корень, затем возвести в степень, или наоборот. Выбирайте вариант с более простыми числами.
Quick-test
Проверьте себя
Главное
- Дробная степень определяется равенством \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\).
- Перед преобразованиями сократите показатель и проверьте область допустимых значений.
- Числитель дроби задаёт степень, знаменатель — корень.
- Отрицательный показатель означает обратное число; основание при этом не может быть нулём.
- Следите за скобками и знаком основания, особенно при чётном корне.
- В сложных выражениях сначала упрощайте отдельные степени, затем выполняйте действия.