Задания № 14, 15 · ЕГЭ

Сложение и вычитание радикалов

Правила приведения подобных радикалов и действий с корнями

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Сложение и вычитание радикалов выполняют так же, как сложение и вычитание подобных слагаемых: складывают или вычитают только коэффициенты при одинаковых корнях. Сначала выражение обычно упрощают, чтобы увидеть подобные радикалы.

Сложение и вычитание радикалов — это преобразование выражений с корнями, при котором приводят подобные радикалы и складывают или вычитают их коэффициенты, сохраняя общий радикал. Радикалы считаются подобными, если после упрощения у них одинаковая подкоренная часть и один и тот же показатель корня.

Основное правило

\[a\sqrt{m}+b\sqrt{m}=(a+b)\sqrt{m},\qquad a\sqrt{m}-b\sqrt{m}=(a-b)\sqrt{m}\]

Чтобы выполнить действие, раскладывают подкоренные числа на множители и выносят из-под корня множители, являющиеся полными квадратами. Эти преобразования основаны на свойствах арифметических корней. Затем группируют получившиеся подобные радикалы и приводят их.

№

Пример

Упростим выражение \(\sqrt{12}+2\sqrt{27}-\sqrt{75}\). Сначала выносим множители из-под корня: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(2\sqrt{27}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). Тогда \(2\sqrt{3}+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}=3\sqrt{3}\).

Не путайте

Нельзя складывать радикалы с разными подкоренными частями: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) не равно \(\sqrt{5}\). Также неверно считать, что \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}\). Складывать можно только коэффициенты при одинаковом радикале.

Проверьте себя

Чему равно \(3\sqrt{5}-\sqrt{20}\)?

Если радикалы не становятся подобными после упрощения, выражение оставляют без изменений. Полное преобразование таких выражений относится к упрощению выражений с корнями.

Главное за минуту

Главное

Сначала упростите каждый радикал и вынесите полные квадраты из-под корня.
У подобных радикалов складывают или вычитают коэффициенты, а общий радикал сохраняют.
Радикалы с разными подкоренными частями складывать и вычитать нельзя.