Преобразования выражений с радикалами
Преобразование выражений с радикалами — это последовательное применение свойств квадратного корня, разложение подкоренного выражения на множители, вынесение квадратных множителей из-под корня и сложение подобных радикалов. Перед началом полезно повторить свойства арифметических корней, а все действия выполнять с учётом области допустимых значений.
1. Основные понятия и свойства корней
Квадратным корнем из неотрицательного числа \(a\) называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Записью \(\sqrt{a}\) обозначают именно арифметический, то есть неотрицательный, квадратный корень.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня. В записи \(\sqrt{A}\) выражение \(A\) является подкоренным. Для квадратного корня необходимо, чтобы \(A\ge 0\).
При допустимых значениях переменных верны равенства: корень из произведения можно заменить произведением корней, а корень из дроби — отношением корней. Кроме того, \(\sqrt{a^2}=|a|\), а не всегда \(a\).
Последняя формула особенно важна: квадрат числа всегда неотрицателен, поэтому при извлечении корня теряется знак исходного числа. Если заранее известно, что \(x\ge0\), можно записать \(\sqrt{x^2}=x\); если \(x<0\), то \(\sqrt{x^2}=-x\).
2. Вынесение множителя из-под корня
Чтобы упростить корень, подкоренное выражение раскладывают на множители. Из-под квадратного корня можно вынести только множитель, являющийся полным квадратом: \(1,4,9,16,25\) и так далее. Этот приём подробно рассматривается на странице вынесение множителя из-под корня.
Например, \(72=36\cdot2\), поэтому \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\). Если буквенный множитель находится под квадратом, учитывают модуль: \(\sqrt{25x^2}=5|x|\).
Разложите число на простые множители или найдите его наибольший квадратный делитель. Например, \(180=36\cdot5\), поэтому из \(\sqrt{180}\) выносится \(6\). Необязательно полностью раскладывать число, если квадратный множитель виден сразу.
Внести множитель под корень можно обратным действием: \(a\sqrt b=\sqrt{a^2b}\) при \(a\ge0\). При отрицательном множителе сначала выносят знак отдельно. Смежная тема — внесение множителя под корень.
3. Подобные радикалы и сложение
Радикалы называют подобными, если после упрощения у них одинаковая часть под знаком корня. Подобные радикалы складывают так же, как подобные одночлены: складывают коэффициенты, а общий радикал оставляют без изменения.
Выражения \(p\sqrt a\) и \(q\sqrt a\) являются подобными, потому что имеют одинаковый радикал \(\sqrt a\). Коэффициенты \(p\) и \(q\) могут быть любыми действительными числами.
Радикалы с разными подкоренными выражениями иногда становятся подобными после вынесения множителей. Например, \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), а \(\sqrt{27}=3\sqrt3\). Значит, выражение \(\sqrt{12}+\sqrt{27}\) можно привести к виду \(5\sqrt3\). Если после упрощения подкоренные выражения различны, слагаемые не объединяются.
Как упростить выражение \(\sqrt{12}+\sqrt{27}\)?
4. Алгоритм комплексного преобразования
Если выражение содержит несколько корней, действуйте в определённом порядке. Сначала проверьте условия существования корней и знаменателей, затем упростите каждый радикал, вынесите множители, приведите подобные слагаемые и только после этого выполните остальные арифметические действия.
- Определите область допустимых значений: каждое подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым.
- Разложите числа и буквенные выражения под корнями на множители.
- Вынесите из-под корня полные квадраты, используя модуль при необходимости.
- Приведите подобные радикалы и выполните действия с коэффициентами.
- Проверьте, нельзя ли дополнительно сократить дробь или вынести общий множитель.
1. Нельзя считать, что \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\): это свойство неверно. 2. Нельзя складывать \(2\sqrt3\) и \(5\sqrt2\). 3. В равенстве \(\sqrt{x^2}=|x|\) нельзя автоматически убирать модуль. 4. Из-под корня выносят только множители, являющиеся полными квадратами. 5. При преобразовании дроби нельзя забывать, что знаменатель не равен нулю.
5. Разобранный пример
Упростим \(E=\sqrt{72}-\sqrt{18}+\sqrt{50}-2\sqrt8\).
Ответ: \(4\sqrt2\). Обратите внимание: сначала каждый корень был приведён к общему виду с радикалом \(\sqrt2\), и только затем выполнено сложение.
6. Произведения, дроби и проверка результата
При умножении радикалов можно объединить их под одним знаком корня: \(\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}\), если \(a\ge0\) и \(b\ge0\). Однако для итогового ответа часто удобнее сначала вынести множители и затем перемножить коэффициенты.
Например, \((2\sqrt3)(5\sqrt6)=10\sqrt{18}=30\sqrt2\). При делении используют свойство корня из дроби, но сначала проверяют, что знаменатель не равен нулю. Для более сложных дробей полезны страницы упрощение дробей с корнями и рационализация знаменателя с одним корнем.
Проверь себя
Главное
- Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
- Из-под корня выносят только полные квадраты: \(\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b\).
- Подобные радикалы имеют одинаковую часть под знаком корня; складываются только их коэффициенты.
- При преобразованиях помните, что \(\sqrt{x^2}=|x|\), а формула \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\) неверна.
- Рабочий порядок: проверить ОДЗ, разложить подкоренные выражения, вынести множители, привести подобные радикалы и проверить ответ.