Область допустимых значений
Область допустимых значений, или ОДЗ, — это все значения переменных, при которых выражение определено и его запись имеет смысл. ОДЗ находят до преобразований выражения, чтобы не допустить деления на ноль или извлечения корня из недопустимого числа.
Основные ограничения
При поиске ОДЗ проверяют прежде всего дроби и корни. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Например, в выражении \(\frac{1}{x-3}\) нужно исключить \(x=3\), а в выражении \(\sqrt{2x+4}\) требуется \(2x+4\ge 0\), то есть \(x\ge -2\).
Если в выражении есть несколько ограничений, их объединяют: значение переменной должно удовлетворять всем условиям одновременно. Для дробно-рационального выражения особенно важно выписать ненулевые знаменатели до сокращения дробей.
Найдём ОДЗ выражения \(\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}\). Условия: \(x+1\ge 0\) и \(x-2\ne 0\). Значит, \(x\ge -1\) и \(x\ne 2\). ОДЗ: \([-1;2)\cup(2;+\infty)\). Число \(2\) исключается, хотя после возможных тождественных преобразований оно может исчезнуть из записи.
ОДЗ отвечает на вопрос, какие значения переменной разрешены. Область значений функции отвечает на другой вопрос: какие значения может принимать само выражение. Например, для \(\sqrt{x}\) ОДЗ: \(x\ge0\), а значения выражения также неотрицательны: \(y\ge0\).
Какое условие задаёт ОДЗ выражения \(\frac{3}{x+5}\)?
Главное
- ОДЗ — все разрешённые значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
- Знаменатели приравнивают к нулю и исключают полученные значения; подкоренные выражения требуют условия неотрицательности.
- При нескольких ограничениях берут значения, удовлетворяющие всем условиям одновременно.