Дробно-рациональное выражение
Дробно-рациональное выражение — это [[algebraic-expression:алгебраическое выражение]], в котором переменная содержится в знаменателе дроби. Для такого выражения обязательно указывают ограничения на значения переменной: знаменатель не должен быть равен нулю.
Здесь \(P(x)\) — многочлен в числителе, а \(Q(x)\) — многочлен в знаменателе. Условие \(Q(x)\ne 0\) задаёт [[domain-expression:область допустимых значений]] (ОДЗ). Чтобы найти ОДЗ, приравнивают каждый знаменатель к нулю, находят запрещённые значения и исключают их.
Рассмотрим выражение \(\frac{x+2}{x^2-9}\). Знаменатель раскладывается так: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Он равен нулю при \(x=3\) и \(x=-3\), поэтому ОДЗ: \(x\ne3\) и \(x\ne-3\). При \(x=0\) выражение имеет смысл и равно \(\frac{2}{-9}=-\frac{2}{9}\).
Дробно-рациональное выражение нельзя считать определённым при любом значении переменной. Даже если после [[fractional-rational-expression-operations:преобразований выражения]] получается более простая запись, исходные запрещённые значения сохраняются. Например, при \(x\ne0\) выражение \(\frac{x^2}{x}\) можно сократить до \(x\), но исходное выражение не имеет смысла при \(x=0\). Нельзя без проверки сокращать множители, равные нулю.
Какое значение переменной запрещено для выражения \(\frac{5}{2x-6}\)?
При вычислении [[value-of-expression:значения выражения]] сначала проверяют, входит ли выбранное значение в ОДЗ. Если знаменатель обращается в ноль, значение выражения не существует, даже когда числитель также равен нулю: запись \(\frac{0}{0}\) неопределённа.
Главное
- Дробно-рациональное выражение имеет вид \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), где \(Q(x)\ne0\).
- ОДЗ получают, исключая значения переменной, при которых знаменатель равен нулю.
- После сокращения дроби запрещённые значения исходного выражения не возвращаются.