Действия с дробно-рациональными выражениями
Дробно-рациональные выражения преобразуют по тем же основным правилам, что и обычные дроби, но сначала учитывают переменные в знаменателях. Главный порядок работы: найти область допустимых значений, разложить многочлены на множители, выполнить действие и проверить ограничения.
Что такое алгебраическая дробь
Алгебраическая дробь — это выражение вида \(\frac{A}{B}\), где \(A\) и \(B\) — многочлены или другие дробно-рациональные выражения, а \(B\ne0\). Числитель и знаменатель могут содержать переменные, поэтому значение дроби зависит не только от подстановки, но и от допустимости этой подстановки.
Алгебраическая дробь — частное двух выражений \(\frac{A}{B}\), причём знаменатель \(B\) не должен обращаться в нуль. Значения переменных, при которых знаменатель равен нулю, исключаются из ОДЗ.
Перед преобразованиями выпишите ограничения. Например, для \(\frac{3x+1}{x-4}\) условие имеет вид \(x-4\ne0\), поэтому \(x\ne4\). Если знаменатель разлагается на несколько множителей, запрещается обращение в нуль каждого из них.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, значение дроби не изменится. Это свойство используется при сокращении и приведении дробей к общему знаменателю.
Для разложения на множители часто нужны тождественные преобразования, в частности разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности.
Сокращение и приведение к общему знаменателю
Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на общий ненулевой множитель. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые. Поэтому сначала разложите многочлены на множители, затем удалите одинаковый множитель сверху и снизу.
Например, \(\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{x-3}{x}\). Исходная ОДЗ: \(x\ne0\) и \(x\ne-3\). После сокращения запись стала короче, но ограничение \(x\ne-3\) сохраняется: в исходном выражении при \(x=-3\) знаменатель был равен нулю.
Нельзя сокращать слагаемые: \(\frac{x+3}{x}\) не превращается в \(\frac{3}{1}\). Сокращение возможно только при наличии общего множителя: \(\frac{x(x+3)}{x}=x+3\) при \(x\ne0\).
Для сложения и вычитания найдите общий знаменатель. Если знаменатели \(B\) и \(D\) взаимно просты, удобно взять \(BD\). Если у них есть общие множители, общий знаменатель можно составить без повторения этих множителей.
Какое действие нужно выполнить первым при упрощении \(\frac{x^2-4}{x^2-2x}\)?
Умножение и деление дробей
При умножении алгебраических дробей перемножьте числители и знаменатели. Перед умножением полезно разложить множители и сократить их крест-накрест. Это уменьшает объём вычислений и снижает риск ошибки.
При делении на дробь замените деление умножением на обратную дробь. Делитель не должен быть равен нулю, поэтому к ОДЗ добавляется условие, что его числитель отличен от нуля.
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Перед применением правила проверьте, что знаменатели обеих дробей не равны нулю и числитель делителя не равен нулю.
Знаки можно вынести из дроби: \(\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}=-\frac{A}{B}\). При умножении отрицательных дробей действуют обычные правила знаков: произведение двух отрицательных множителей положительно, произведение дробей с разными знаками отрицательно.
Разобранный пример: сложение и сокращение
Упростим выражение \(\frac{2}{x-3}+\frac{x}{x^2-9}\) и укажем ОДЗ.
Итак, \(\frac{2}{x-3}+\frac{x}{x^2-9}=\frac{3(x+2)}{(x-3)(x+3)}\), ОДЗ: \(x\ne3\) и \(x\ne-3\). Ограничения берутся из исходного выражения и сохраняются после преобразования.
Если в задании требуется найти значение выражения при конкретном \(x\), сначала упростите дробь, затем проверьте, входит ли это значение в ОДЗ, и только после этого подставляйте его. Такой порядок особенно важен, если при сокращении исчезает множитель, содержащий переменную.
Алгоритм и контроль результата
- Разберите все знаменатели на множители и выпишите ОДЗ.
- Определите действие: сокращение, сложение, вычитание, умножение или деление.
- Для сложения и вычитания найдите общий знаменатель; для умножения и деления разложите множители и сократите до перемножения.
- Выполните действие, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
- Разложите результат на множители и сократите только общие множители.
- Сверьте ОДЗ с исходным выражением и при необходимости проверьте результат подстановкой допустимого числа.
Не теряйте скобки при вычитании: \(A-(B+C)=A-B-C\). Не забывайте домножать весь числитель, а не только первый член. При делении не оставляйте прежний делитель: дробь нужно перевернуть полностью.
Выберите допустимое простое значение переменной, например \(x=2\) или \(x=5\), вычислите исходное и преобразованное выражения отдельно. Совпадение подтверждает вычисления, но не заменяет запись ОДЗ.
Быстрая проверка
Главное
- Сначала находите ОДЗ: знаменатели и числитель делителя не должны быть равны нулю.
- Сокращайте только общие множители после разложения на множители; ОДЗ исходного выражения сохраняйте.
- При сложении и вычитании приводите дроби к общему знаменателю и складывайте или вычитайте числители.
- При умножении перемножайте числители и знаменатели, а при делении умножайте на обратную дробь.
- После преобразований раскройте скобки, разложите результат на множители и проверьте его допустимым значением.