Тождественные преобразования
Тождественные преобразования — это замена выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях переменных. Такие преобразования помогают раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, сокращать дроби и подготавливать выражение к вычислению или решению уравнения.
Что такое тождественное преобразование
Сначала важно различать значение выражения и равенство выражений. Значение выражения получается после подстановки чисел вместо переменных. Тождество — это равенство, верное для всех значений переменных, при которых обе его части определены.
Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Тождественным преобразованием называют замену выражения другим выражением, равным ему на всей общей области допустимых значений.
Если выполнить тождественное преобразование части выражения, значение всего выражения не изменится ни при одном допустимом значении переменных.
Допустимые значения нужно проверять до преобразований. Область допустимых значений ограничивает переменные: знаменатель не может быть равен нулю, подкоренное выражение в действительных числах должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным. После преобразования область может выглядеть шире, но исходные запреты не исчезают.
Равенство \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) верно только при \(x\ne1\). Это не значит, что исходную дробь можно считать определённой при \(x=1\): в исходном выражении \(x=1\) запрещено.
Основные преобразования выражений
Большинство преобразований основано на свойствах действий и формулах сокращённого умножения. При раскрытии скобок используют распределительное свойство умножения: множитель умножают на каждый член в скобках. При сложении раскрытых выражений объединяют подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Для обратного действия общие множители выносят за скобки. Это часто уменьшает число слагаемых и делает вид выражения удобнее.
Формулы сокращённого умножения позволяют быстро раскрывать или сворачивать скобки. К ним относятся квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.
При работе с дробями числитель и знаменатель можно разложить на множители, а затем сократить общий множитель. Сокращение допустимо только при условии, что этот множитель не равен нулю.
Какое равенство является тождеством на своей области допустимых значений?
Преобразование дробно-рациональных выражений
Для дробно-рационального выражения порядок действий обычно такой: найти ОДЗ, разложить многочлены на множители, сократить только ненулевые общие множители, затем выполнить оставшиеся действия. Операции с такими выражениями подробно рассматриваются на странице действий с дробно-рациональными выражениями.
Если \(A\) и \(B\) — выражения, а \(B\ne0\), то дробь \(\frac{AB}{B}\) можно заменить на \(A\). При этом все ограничения исходной дроби должны быть сохранены.
Умножение и деление дробей часто удобнее выполнять после разложения на множители. Сложение дробей начинают с приведения к общему знаменателю. Нельзя складывать отдельно числители и знаменатели: \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ne\frac{a+c}{b+d}\) в общем случае.
Разобранный пример
Упростим \(\frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot\frac{x}{x+2}\) и найдём его значение при \(x=4\).
Ответ: выражение тождественно равно 1 при \(x\ne-2\), \(x\ne0\), \(x\ne2\). В частности, при \(x=4\) его значение равно 1. Обратите внимание: после сокращения получилась константа, но исходное выражение всё равно не определено при \(x=-2\), \(x=0\) и \(x=2\).
Преобразования с многочленами и модулем
Многочлен можно привести к стандартному виду: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и расположить члены по убыванию степеней. Например, \(3x(x-2)+x^2=3x^2-6x+x^2=4x^2-6x\).
В выражениях с модулем преобразование зависит от знака выражения под знаком модуля: \(|a|=a\), если \(a\ge0\), и \(|a|=-a\), если \(a<0\). Поэтому сначала находят, при каких значениях переменной подмодульное выражение положительно или отрицательно.
1. Теряют знак при раскрытии скобок перед минусом: \(-(a-b)=-a+b\). 2. Пишут \((a+b)^2=a^2+b^2\), забывая \(2ab\). 3. Сокращают слагаемые вместо множителей: \(\frac{x+2}{x}\) нельзя сократить на \(x\). 4. После сокращения забывают ОДЗ исходного выражения. 5. Подставляют число до упрощения и получают громоздкие вычисления или деление на ноль.
Если нужно вычислить значение, сначала проверьте ОДЗ, затем упростите выражение и только после этого подставляйте число. Если нужно доказать тождество, преобразуйте одну часть в другую, не выполняя недопустимых действий.
Алгоритм тождественных преобразований
- Выпишите область допустимых значений исходного выражения.
- Раскройте скобки или разложите многочлены на множители — в зависимости от цели.
- Приведите подобные слагаемые, сократите дробь или приведите дроби к общему знаменателю.
- Проверьте знаки, степени и ограничения на переменные.
- Если требуется числовое значение, подставьте число только после упрощения и убедитесь, что оно допустимо.
Быстрая проверка
Главное
- Тождественное преобразование сохраняет значение выражения при всех допустимых значениях переменных.
- Перед действиями с дробями, корнями и модулями проверяйте область допустимых значений.
- Основные приёмы: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, разложение на множители, формулы сокращённого умножения и сокращение дробей.
- Сокращать можно только общие множители, а ограничения исходного выражения нужно сохранять.
- Для вычисления сначала упростите выражение, затем подставьте допустимое значение.