Сравнение выражений

Сравнить два выражения — значит установить, какое из них больше, меньше или равно другому. Во многих задачах не требуется находить точные значения: достаточно преобразовать выражения, оценить их знаки, сравнить части или исследовать разность.

Что значит сравнить выражения

Для числовых выражений нужно определить один из знаков: \(>\), \(<\) или \(=\). Например, вместо вычисления двух громоздких произведений можно заметить, что одно из них содержит общий множитель, а оставшиеся множители сравниваются сразу. Для буквенных выражений важно учитывать область допустимых значений и условия задачи: знак переменной может быть неизвестен.

Если требуется сравнить значения при конкретных переменных, сначала используйте подстановку значения и затем применяйте удобный приём. Если выражения равны при любых допустимых значениях переменных, это проверяют с помощью тождественных преобразований.

Основные приёмы сравнения

Выбор приёма зависит от вида выражений. Полезно сначала посмотреть, нет ли общих множителей, одинаковых частей или очевидной разности.

1. Упростить оба выражения. Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, сократить общие множители. Иногда после этого сравнение становится очевидным.
2. Сравнить разность. Рассмотрите \(A-B\): если \(A-B>0\), то \(A>B\); если \(A-B<0\), то \(A<B\); если \(A-B=0\), то \(A=B\).
3. Сравнить отношение. Если \(B>0\), то \(A>B\) равносильно \(\frac{A}{B}>1\). При отрицательном \(B\) знак неравенства меняется, поэтому знак знаменателя нужно проверять заранее.
4. Использовать общий множитель. При умножении или делении неравенства на положительное число знак сохраняется, а на отрицательное — меняется.
5. Оценить выражения. Если \(A\leq m\) и \(B\geq n\), а \(m<n\), то \(A<B\). Достаточно найти такие границы, которые не пересекаются.
6. Сравнить степени и корни. Для положительных чисел можно сравнивать основания одинаковой степени. При работе с корнями часто удобно перейти к степени с дробным показателем или возвести обе части в одну и ту же степень.

Для положительных чисел полезны свойства степеней. Например, если \(a>1\) и \(m>n\), то \(a^m>a^n\); если \(0<a<1\), то \(a^m<a^n\). Поэтому отрицательные степени и нулевая степень нужно преобразовывать внимательно: \(a^{-n}=\frac1{a^n}\) при \(a\ne0\), а \(a^0=1\) при \(a\ne0\).

Сравнение по разности

Метод разности универсален для числовых и буквенных выражений. Вычитаем второе выражение из первого и преобразуем результат. Если получилась сумма квадратов, произведение положительных множителей или другая явно положительная величина, знак разности найден.

Особенно часто встречаются формулы разности квадратов и квадрат разности: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) и \((a-b)^2\geq0\). Последнее неравенство позволяет сразу заключить, что \(a^2+b^2\geq2ab\).

Заметим, что точные квадраты \(51^2\) и \(49^2\) вычислять не пришлось. Достаточно было увидеть структуру \((a-b)^2\).

Знаки и оценки

Перед преобразованиями определите знак известных частей. Квадрат любого действительного числа неотрицателен: \(x^2\geq0\). Модуль также неотрицателен: \(|x|\geq0\). Произведение двух чисел одного знака положительно, а разных знаков — отрицательно.

Если выражения содержат дроби, нельзя сравнивать их числители отдельно, пока не установлен знак знаменателей. При положительных знаменателях можно перемножить крест-накрест без изменения знака: если \(b>0\) и \(d>0\), то \(\frac ab>\frac cd\iff ad>bc\).

Например, если \(0<x<1\), то \(x^2<x\), потому что при умножении неравенства \(x<1\) на положительное \(x\) знак сохраняется. Если же \(x>1\), то \(x^2>x\). Один и тот же приём может приводить к разным результатам при разных условиях.

Сравнение степеней, корней и дробей

При сравнении \(a^n\) и \(b^n\) для нечётного натурального \(n\) знак сохраняется на всех действительных числах. Для чётного \(n\) сначала нужно учитывать знаки оснований: например, \((-3)^2=3^2\), поэтому само сравнение оснований здесь недостаточно.

Корни сравнивают по монотонности. Если \(a,b\geq0\), то \(√ a<\sqrt b\) тогда и только тогда, когда \(a<b\). Возводить обе части в квадрат можно именно потому, что обе части неотрицательны.

При сравнении дробей приведите их к общему знаменателю или сравните крест-накрест после проверки знаков. Для чисел, записанных как произведение простых множителей, полезны применения разложения на простые множители и свойства взаимно простых чисел. Иногда сначала находят общий делитель, используя формулу количества делителей или признаки делимости.

Буквенные выражения и условия

Буквенное выражение нельзя сравнивать без условий на переменные. Например, утверждение \(x^2>x\) верно при \(x>1\) и при \(x<0\), но неверно при \(0<x<1\). Поэтому ответ должен содержать область, где выполняется сравнение, либо быть сформулирован как зависимость от параметра.

Если в условии сказано, что \(a>b>0\), можно умножать неравенства на \(a\), \(b\) и другие положительные выражения. Если знак множителя неизвестен, рассмотрите случаи или используйте разность так, чтобы знак стал очевидным.

Алгоритм решения

• Запишите, какие выражения обозначены буквами \(A\) и \(B\).
• Проверьте область допустимых значений и условия на знаки.
• Осмотрите выражения: ищите общий множитель, формулу квадрата, разность квадратов, одинаковые степени или дроби.
• Выберите метод: упрощение, разность, оценка, отношение или сравнение по монотонности.
• Проверьте, не менялся ли знак при умножении, делении или возведении в степень.
• Сформулируйте итог с учётом всех условий.