Задание № 15 · ЕГЭ

Формула количества делителей

Как найти число натуральных делителей по каноническому разложению

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Формула количества делителей позволяет быстро найти, сколько натуральных делителей имеет число, если представить его в виде произведения простых чисел. Для этого достаточно увеличить каждый показатель степени на 1 и перемножить полученные числа.

Формула количества делителейПоказатель степени показывает, сколько раз соответствующий простой множитель входит в разложение числа.

Если каноническое разложение натурального числа имеет вид \(n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k}\), где \(p_1,p_2,\ldots,p_k\) — различные простые числа, то количество его натуральных делителей равно \((a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)\).

Формула

\[\tau(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdot\ldots\cdot(a_k+1)\]1

Здесь \(\tau(n)\) — количество натуральных делителей числа \(n\). Каждый делитель образуется выбором степени каждого простого множителя: от нулевой до указанной в разложении. Для \(p_i^{a_i}\) возможны \(a_i+1\) вариантов степени: \(0,1,2,\ldots,a_i\).

№

Пример

Найдём количество делителей числа \(360\). Его каноническое разложение: \(360=2^3\cdot3^2\cdot5^1\). Поэтому \(\tau(360)=(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot3\cdot2=24\). Значит, у 360 24 натуральных делителя.

Не путайте

Формула считает именно количество делителей, а не сумму их значений. Например, для числа 12 разложение \(12=2^2\cdot3\), поэтому количество делителей равно \((2+1)(1+1)=6\): это делители \(1,2,3,4,6,12\). Сама сумма равна \(28\) и находится другим способом.

Проверьте себя

Сколько натуральных делителей имеет число \(72=2^3\cdot3^2\)?

Сначала нужно получить количество делителей числа через его каноническое разложение. Если число простое, оно имеет разложение \(p^1\), и формула даёт \(1+1=2\): любой простой число делится только на 1 и на себя.

Главное за минуту

Главное

Разложите число на степени различных простых множителей.
Увеличьте каждый показатель степени на 1.
Перемножьте полученные числа: результатом будет количество натуральных делителей.