Взаимно простые числа
Взаимно простые числа — это два числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы. Иными словами, их [[greatest-common-divisor:наибольший общий делитель]] равен \(1\).
Как проверить взаимную простоту
Чтобы проверить числа, найдите их наибольший общий делитель. Если он равен \(1\), числа взаимно простые; если больше \(1\) — нет. Удобно также выполнить [[prime-factorization-applications:разложение на простые множители]]: числа взаимно просты тогда и только тогда, когда в их разложениях нет одинаковых простых множителей.
Числа \(14\) и \(25\) взаимно просты: \(14=2\cdot7\), \(25=5^2\), общих простых множителей нет, поэтому \(\operatorname{НОД}(14,25)=1\). А числа \(18\) и \(24\) не являются взаимно простыми: \(\operatorname{НОД}(18,24)=6\).
Взаимно простые числа не обязаны быть простыми. Например, \(8\) и \(9\) — составные числа, но они взаимно просты, потому что \(\operatorname{НОД}(8,9)=1\). Также взаимная простота — это свойство пары чисел, а не каждого числа по отдельности.
Основные свойства
- Два различных простых числа взаимно просты.
- Если \(a\) и \(b\) взаимно просты, то произведение \(ab\) делится на число, которое делится и на \(a\), и на \(b\).
- Числа \(1\) и любое целое число взаимно просты, поскольку единственный положительный делитель числа \(1\) — это \(1\).
Какая пара чисел является взаимно простой?
Главное
- Взаимно простые числа имеют единственный общий делитель — \(1\).
- Критерий: \(\operatorname{НОД}(a,b)=1\).
- Проверить взаимную простоту можно по НОД или по отсутствию общих простых множителей.