Задания № 19, 20 · ЕГЭ

Каноническое разложение числа

Единственное представление числа через степени простых множителей

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Каноническое разложение числа — это запись натурального числа в виде произведения степеней различных простых чисел. Такая запись однозначна и помогает находить делители, НОД и НОК.

Если \(n>1\) — натуральное число, то его каноническое разложение имеет вид произведения \(n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k}\), где \(p_1,p_2,\ldots,p_k\) — различные простые числа, а \(a_1,a_2,\ldots,a_k\) — натуральные показатели степеней. Показатель \(a_i\) показывает, сколько раз простое число \(p_i\) входит в разложение; подробнее это рассматривается на странице степень вхождения простого числа.

Формула

\[n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k},\qquad p_i\ne p_j\text{ при }i\ne j\]

Чтобы получить каноническое разложение, число последовательно делят на простые делители, пока не останется единица. Затем одинаковые простые множители объединяют в степени и обычно записывают простые числа по возрастанию. Это частный, упорядоченный результат разложения на простые множители.

№

Пример

Разложим число \(360\). Получаем \(360=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\). Объединяя одинаковые множители, записываем: \(360=2^3\cdot3^2\cdot5\). Это и есть каноническое разложение: основания \(2\), \(3\) и \(5\) различны и просты.

Не путайте

Каноническое разложение — не просто любая запись числа в виде произведения. Например, \(360=6\cdot60\) является разложением на множители, но не каноническим: числа \(6\) и \(60\) составные. Также нельзя оставлять одинаковые простые множители отдельно: \(2\cdot2\cdot3\) следует записать как \(2^2\cdot3\).

Проверьте себя

Каково каноническое разложение числа \(84\)?

Главное за минуту

Главное

Каноническое разложение записывает число как произведение степеней различных простых чисел.
Показатели степеней показывают, сколько раз соответствующие простые множители входят в число.
Для записи нужно разложить число на простые множители и объединить одинаковые множители в степени.