Задание № 13 · ОГЭ

Степень вхождения простого числа

Наибольшая степень простого числа, делящая натуральное число

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Степень вхождения простого числа в натуральное число — это показатель наибольшей степени данного простого числа, на которую делится это число без остатка.

Степень вхождения простого числаБуква $p$ обычно обозначает простое число, а индекс показывает, для какого именно простого числа рассматривается показатель.

Пусть $p$ — простое число, а $n$ — натуральное число. Степенью вхождения $p$ в число $n$ называют такое наибольшее неотрицательное целое число $k$, что $p^k$ делит $n$: $p^k\mid n$, но $p^{k+1}\nmid n$. Обозначают: $v_p(n)=k$ или $\nu_p(n)=k$.

Чтобы найти степень вхождения, удобно выполнить разложение на простые множители: показатель простого множителя $p$ и есть степень его вхождения. Если простое число $p$ не является делителем $n$, его степень вхождения равна $0$.

\[n=p^k\cdot m,\qquad p\nmid m,\qquad v_p(n)=k\]

Здесь $m$ не делится на $p$. Такая запись показывает, что из числа $n$ вынесена максимально возможная степень $p$. Она является частью канонического разложения числа.

№

Пример

Найдём степень вхождения числа $3$ в число $540$. Разложим число: $540=2^2\cdot3^3\cdot5$. Поэтому $3^3$ делит $540$, а $3^4$ уже не делит. Значит, $v_3(540)=3$.

Не путайте с самим простым делителем

Простое число $p$ может входить в разложение несколько раз. Например, $2$ — простой делитель числа $40$, но степень его вхождения равна $3$, потому что $40=2^3\cdot5$. Число $2$ — это делитель, а число $3$ — показатель степени вхождения.

Проверьте себя

Чему равна степень вхождения числа $5$ в число $250$?

Для числа $1$ степень вхождения любого простого числа равна $0$, поскольку ни одно простое число не делит $1$. При работе с несколькими числами это понятие помогает исследовать наибольший общий делитель: в него входят общие простые множители с наименьшими показателями.

Главное за минуту

Главное

$v_p(n)$ — наибольшее $k$, для которого $p^k\mid n$.
Показатель степени простого множителя в разложении числа равен степени его вхождения.
Если $p$ не делит $n$, то $v_p(n)=0$.

Чему равна степень вхождения числа \(5\) в число \(250\)?

Главное