Задание № 13 · ОГЭ

Основная теорема арифметики

Единственность разложения натурального числа на простые множители

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Основная теорема арифметики утверждает: каждое натуральное число, большее 1, можно разложить на простые множители единственным способом, если не учитывать порядок множителей.

Основная теорема арифметикиСлово «арифметика» происходит от греческого слова, связанного с числами.

Для любого натурального числа \(n>1\) существует разложение \(n=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k\), где все \(p_i\) — простые числа. Такое разложение единственно с точностью до перестановки множителей: набор простых множителей и их количества определяются однозначно.

Формулировка в виде формулы

\[n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_m^{\alpha_m},\qquad p_i\ne p_j\ (i\ne j),\quad \alpha_i\in\mathbb{N}\]1

Здесь \(p_1,p_2,\ldots,p_m\) — различные простые числа, а \(α_1,α_2,\ldots,α_m\) — натуральные показатели степеней. Иными словами, число представляется через разложение на простые множители, а одинаковые множители удобно объединять в степени.

№

Пример

Число \(60\) можно разложить так: \(60=2\cdot30=2\cdot2\cdot15=2^2\cdot3\cdot5\). Запись \(3\cdot2\cdot2\cdot5\) отличается только порядком множителей, поэтому это то же самое разложение. Другого набора простых множителей для числа \(60\) быть не может.

Не путайте

Теорема говорит об единственности разложения, а не о единственности записи числа вообще. Например, \(12=2\cdot6=3\cdot4\) — это разные разложения на составные множители. Единственным является именно разложение на простые множители: \(12=2^2\cdot3\). Числа \(0\) и \(1\) в формулировку не входят: у \(1\) нет простых множителей.

Проверьте себя

Какое утверждение следует из основной теоремы арифметики?

Теорема важна потому, что позволяет однозначно находить количество делителей числа, сравнивать делимость чисел и решать задачи с НОД и НОК. Для практических вычислений сначала выполняют разложение на простые множители, а затем используют полученные показатели степеней.

Главное за минуту

Главное

Каждое натуральное число \(n>1\) раскладывается на простые множители.
Разложение единственно с точностью до порядка множителей.
Одинаковые простые множители записывают степенями: \(n=p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_m^{\alpha_m}\).