Задание № 13 · ОГЭ

Разложение на простые множители

Как представить натуральное число в виде произведения простых чисел
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Разложение на простые множители, или факторизация, — это представление натурального числа в виде произведения простых чисел. Такое представление помогает находить делители, НОД и НОК чисел.

Разложение на простые множители
Представление составного натурального числа в виде произведения двух или более простых чисел. Простые множители могут повторяться. Для простого числа разложением считают само это число: например, \(13=13\).

Сначала полезно вспомнить, чем отличаются простые и составные числа. Чтобы разложить число, последовательно делят его на простые делители, пока не получат единицы. В результате все множители должны быть простыми.

\[n=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k,\qquad p_i\text{ — простые числа}\]
T
Основная теорема арифметики

Каждое натуральное число, большее 1, можно разложить на простые множители, причём это разложение единственно с точностью до порядка множителей. Поэтому набор простых множителей числа не зависит от способа вычисления.

№
Пример

Разложим \(84\): \(84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2^2\cdot3\cdot7\). Числа \(2\), \(3\) и \(7\) простые, значит, разложение завершено. Проверка: \(2^2\cdot3\cdot7=84\).

Краткая запись с повторяющимися множителями называется каноническим разложением. Простые числа, входящие в разложение, — это простые делители числа. По разложениям затем находят наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

!
Не путайте

Разложение на простые множители — это не перечисление всех делителей числа. Например, для \(12\) разложение имеет вид \(12=2^2\cdot3\), а его делители: \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(12\).

Проверь себя

Какое разложение числа \(90\) на простые множители записано верно?

Главное за минуту

Главное

  • Разложение на простые множители — произведение простых чисел, равное исходному натуральному числу.
  • Каждое число больше 1 имеет единственное простое разложение с точностью до порядка множителей.
  • Повторяющиеся простые множители удобно записывать степенями: \(84=2^2\cdot3\cdot7\).