Задания № 19, 20 · ЕГЭ

Наибольший общий делитель по разложениям

Как найти НОД по общим простым множителям

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Наибольший общий делитель нескольких чисел по разложениям находят так: раскладывают числа на простые множители, выбирают простые, встречающиеся во всех разложениях, и перемножают их в наименьших степенях.

Способ нахождения наибольшего общего делителя двух или нескольких чисел с помощью их разложения на простые множители. Для каждого простого множителя берут наименьший показатель степени из всех разложений, а затем перемножают полученные степени.

\[\operatorname{НОД}(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\prod p_i^{\min(\alpha_{1i},\alpha_{2i},\ldots,\alpha_{ni})}\]1

Здесь \(p_i\) — простые множители, а \(\alpha_{ji}\) — их показатели в разложении числа \(a_j\). Если простое число отсутствует в разложении, его показатель считают равным нулю. Поэтому в НОД попадут только простые множители, общие для всех чисел.

№

Пример

Найдём НОД чисел \(84\), \(126\) и \(210\). Разложения: \(84=2^2\cdot3\cdot7\), \(126=2\cdot3^2\cdot7\), \(210=2\cdot3\cdot5\cdot7\). Общие простые множители — \(2\), \(3\) и \(7\). Берём наименьшие показатели: \(2^1\), \(3^1\), \(7^1\). Поэтому \(\operatorname{НОД}(84,126,210)=2\cdot3\cdot7=42\).

Не перепутайте с НОК

Для НОД берут минимальные показатели и только общие простые множители. При нахождении наименьшего общего кратного берут максимальные показатели всех простых множителей, встречающихся хотя бы в одном разложении.

Проверьте себя

Чему равен \(\operatorname{НОД}(72,120)\), если \(72=2^3\cdot3^2\), а \(120=2^3\cdot3\cdot5\)?

Главное за минуту

Главное

Разложите каждое число на простые множители.
Оставьте простые множители, общие для всех чисел, и возьмите для каждого минимальную степень.
Перемножьте выбранные степени — получится НОД.