Задания № 19, 20 · ЕГЭ

Наименьшее общее кратное по разложениям

Как найти НОК чисел по их простым множителям

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Наименьшее общее кратное по разложениям находят так: раскладывают числа на простые множители и для каждого простого множителя берут наибольший показатель степени. Затем перемножают полученные степени.

Способ нахождения НОК двух или нескольких натуральных чисел через их разложения на простые множители. Для каждого простого множителя выбирают максимальную степень, с которой он встречается хотя бы в одном разложении.

Правило и формула

Сначала каждое число представляют в каноническом виде — как произведение простых чисел в степенях. Если в разложениях встречаются простые числа \(p_1,p_2,\ldots,p_k\), то сравнивают показатели степеней при каждом из них.

\[a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},\qquad b=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k}\\ \operatorname{НОК}(a,b)=p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}p_2^{\max(\alpha_2,\beta_2)}\cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}\]

Если некоторого простого множителя нет в разложении числа, его показатель считают равным нулю. Полученное произведение делится на каждое исходное число, а любое другое общее кратное не меньше него.

№

Пример

Найдём НОК чисел \(60\) и \(84\). Разложения: \(60=2^2\cdot3\cdot5\), \(84=2^2\cdot3\cdot7\). Берём максимальные показатели: для \(2\) — \(2\), для \(3\) — \(1\), для \(5\) и \(7\) — по \(1\). Поэтому \(\operatorname{НОК}(60,84)=2^2\cdot3\cdot5\cdot7=420\).

Не перепутайте с НОД

Для НОК берут максимальные показатели простых множителей, а для НОД по разложениям — минимальные. Например, для множителя \(2\) в разложениях \(2^2\) и \(2^5\) в НОК выбирают \(2^5\), а в НОД — \(2^2\).

Проверьте себя

Чему равен НОК чисел \(18=2\cdot3^2\) и \(30=2\cdot3\cdot5\)?

Главное за минуту

Главное

Разложите числа на простые множители.
Для каждого простого множителя возьмите наибольший показатель.
Перемножьте выбранные степени: результатом будет НОК.