Задание № 13 · ОГЭ

Алгоритм деления с остатком

Как представить число при делении нацело и с остатком
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Алгоритм деления с остатком — это способ представить число \(a\) в виде суммы произведения делителя \(b\) на частное \(q\) и остатка \(r\). Остаток всегда неотрицателен и меньше делителя.

Алгоритм деления с остаткомСлово «остаток» связано с тем, что после выделения нескольких полных групп делителя остаётся часть числа.
Для целого числа \(a\) и натурального делителя \(b\) находят такие целые числа \(q\) и \(r\), что \(a=bq+r\), причём \(0\le r<b\). Число \(q\) называют неполным частным, а \(r\) — остатком при делении. Это представление является единственным.

Формула

\[a=bq+r,\qquad 0\le r<b\]

Чтобы выполнить алгоритм, разделите \(a\) на \(b\) с остатком: целая часть результата — это \(q\), а оставшаяся часть — \(r\). Затем проверьте равенство \(a=bq+r\) и условие \(r<b\). Если остаток равен нулю, деление выполняется нацело; это связано с понятием остатка при делении.

№
Пример

Разделим \(47\) на \(6\). Наибольшее число, кратное \(6\) и не превосходящее \(47\), — \(42=6\cdot7\). Поэтому \(q=7\), \(r=5\), и \(47=6\cdot7+5\). Проверка: \(0\le5<6\).

!
Не путайте

Остаток не может быть равен делителю или быть больше него. Запись \(47=6\cdot6+11\) формально даёт правильную сумму, но это не результат деления с остатком: \(11\not<6\). Нужно выделить ещё одну полную группу: \(47=6\cdot7+5\).

Проверьте себя

Какова запись деления \(38\) на \(7\) с остатком?

Представление \(a=bq+r\) используют в задачах на делимость: если \(r=0\), число \(a\) делится на \(b\) без остатка. Последовательное применение таких делений лежит в основе алгоритма Евклида.

Главное за минуту

Главное

  • Деление с остатком записывают формулой \(a=bq+r\).
  • Остаток удовлетворяет условию \(0\le r<b\).
  • При \(r=0\) деление выполняется нацело.