Задания № 2, 19 · ЕГЭ

Признаки делимости на 3 и 9

Как определить делимость числа по сумме его цифр

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Число делится на 3 или на 9 без остатка, если соответствующий признак выполняется для суммы его цифр. Поэтому вместо самого числа достаточно сложить его цифры.

Признак делимости на 3: натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Признак делимости на 9: натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Для вычисления суммы цифр можно обратиться к странице сумма цифр числа. Эти правила являются частью общих признаков делимости.

Правило и запись

Пусть \(n\) — число, а \(S(n)\) — сумма его цифр. Тогда проверка делимости записывается так:

\[n\mathrel{\vdots}3 \Longleftrightarrow S(n)\mathrel{\vdots}3;\qquad n\mathrel{\vdots}9 \Longleftrightarrow S(n)\mathrel{\vdots}9.\]

Если сумма цифр получилась большой, её можно снова заменить суммой цифр. Например, для числа \(7\,245\,318\) получаем \(7+2+4+5+3+1+8=30\), затем \(3+0=3\).

№

Пример

Проверим число \(72\,936\). Сумма цифр равна \(7+2+9+3+6=27\). Число \(27\) делится и на 3, и на 9, значит, \(72\,936\) делится и на 3, и на 9.

Не путайте признаки

Если сумма цифр делится на 3, это ещё не означает делимость на 9. Например, у числа \(123\) сумма цифр равна \(6\): число делится на 3, но не делится на 9. Напротив, делимость на 9 всегда означает делимость на 3, поскольку \(9\) кратно \(3\).

Проверьте себя

Делится ли число \(58\,104\) на 3 и на 9?

Главное за минуту

Главное

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Делимость на 9 влечёт делимость на 3, но обратное неверно.