Делимость суммы и разности

Делимость суммы и разности позволяет заменять сложное условие несколькими простыми условиями на слагаемые. Эти свойства особенно полезны в задачах, где неизвестное число нужно восстановить по делимости выражений.

Основные понятия и свойства

Говорят, что целое число \(a\) делится на ненулевое целое число \(d\), если существует целое число \(k\) такое, что \(a=d\cdot k\). Записывают: \(d\mid a\). Число \(d\) называют делителем, а \(a\) — делимым.

Перед решением задач полезно повторить признаки делимости: они помогают быстро проверить, делится ли число на \(2\), \(3\), \(5\), \(9\), \(10\) и другие числа. Ниже используются только общие свойства, поэтому они работают для любых целых чисел.

Доказательство следует из определения. Пусть \(a=d\cdot p\) и \(b=d\cdot q\). Тогда \(ma+nb=m(d p)+n(d q)=d(mp+nq)\), а число \(mp+nq\) целое.

Обратное использование: получить делимость слагаемого

В задачах часто известно, что делится сумма или разность, а нужно доказать делимость другого выражения. Тогда одно слагаемое выражают через сумму или разность.

Более общий принцип: если \(d\) делит два выражения, то он делит их сумму и разность. Например, из \(7\mid(3x+5)\) и \(7\mid(2x-1)\) следует \(7\mid[(3x+5)-(2x-1)]=x+6\).

Задачи с неизвестным числом

Пусть требуется найти цифру, натуральное число или остаток. Условие делимости переводят в равенство с целым параметром либо используют остатки. Если \(d\mid E(x)\), можно записать \(E(x)=d k\), где \(k\in\mathbb Z\). Часто удобнее сравнить два выражения, делящиеся на один и тот же делитель.

Если \(d\mid A\) и \(d\mid B\), то \(d\mid(A-B)\). При выборе \(A\) и \(B\) стремятся сократить неизвестную или получить маленькое выражение. Например, из делимости \(x+7\) и \(2x+14\) на \(5\) можно получить делимость их разности \(x+7\) — здесь второе выражение просто равно \(2(x+7)\), поэтому новое условие ничего не добавляет.

1. Запишите, какие выражения делятся на указанный делитель.
2. Сложите или вычтите их так, чтобы упростить выражение с неизвестным.
3. Получите условие вида \(d\mid x\), \(d\mid(x+c)\) или \(x=d k-r\).
4. Переберите только допустимые значения: цифры от \(0\) до \(9\), натуральные числа — с учётом условия задачи.

Разобранный пример

Сначала переведём записи чисел в выражения: \(\overline{3x7}=300+10x+7=307+10x\), а \(\overline{x3}=10x+3\). Второе условие даёт разность, в которой неизвестная цифра сократится.

Получилось противоречие: второе условие невыполнимо ни при какой цифре \(x\). Значит, таких цифр не существует. Этот пример показывает важный приём: иногда после вычитания неизвестное исчезает, и нужно проверить уже обычное число.

И здесь решений нет. В экзаменационной задаче это тоже полноценный результат: если все допустимые значения проверены и не подошли, ответ — отсутствие решений. Для более длинных выражений удобно применять представление числа и работать с коэффициентами при неизвестной.

Связь с остатками и взаимно простыми числами

Утверждение \(d\mid a\) означает, что остаток от деления \(a\) на \(d\) равен нулю. Поэтому свойства суммы и разности можно формулировать через остатки: если два числа имеют остаток \(0\), то их сумма и разность также имеют остаток \(0\).

Иногда выражение делится на произведение двух чисел. Если эти числа взаимно просты, можно разделить условие на отдельные делимости. Например, из \(6\mid n\) следует \(2\mid n\) и \(3\mid n\), а если одновременно выполнены \(2\mid n\) и \(3\mid n\), то благодаря взаимной простоте получаем \(6\mid n\). Подробнее о таком условии см. на странице взаимно простые числа.

В задачах на натуральные числа результат часто объединяют с разложением на простые множители или с формулой из задач на делимость. В задачах на цифры сначала учитывают диапазон \(0\le x\le9\), а затем применяют признаки делимости на 6 и 12, если они указаны в условии.

Быстрая проверка