Числа с целочисленными средними
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа большего 1. Найдите наименьшее возможное | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Сравните суммы двух наборов из четырёх чисел, отличающихся только одним числом. Что можно сказать о разности любых двух записанных чисел?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из условий для четырёх и пяти чисел следует, что все записанные числа сравнимы между собой по модулю $4$ и по модулю $5$, а значит, и по модулю $20$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Числа 403 и 2013 имеют разные остатки по модулю $20$. Квадраты по модулю $20$ не могут иметь остаток $3$. Для пункта в) найдите наименьшее $n>1$, для которого $n^2 \equiv 1 \pmod{20}$.