Ответ: Числа с целочисленными средними
а) Нет. б) Нет. в) Наименьшее значение $n$ равно $9$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.
Где здесь ошибаются
Сравнивают сами средние арифметические вместо сумм и не учитывают делимость суммы четырёх чисел на $4$ или суммы пяти чисел на $5$.
Делают вывод о сравнимости чисел только по одному модулю, например по модулю $4$, и не объединяют условия по модулям $4$ и $5$.
Ошибочно считают, что квадрат может иметь любой остаток по модулю $20$.
Для пункта в) находят число $n$, удовлетворяющее необходимому условию, но не приводят пример десяти чисел, доказывающий возможность.