Письма юношей и девушек
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем. а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем? б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну? в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе? | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте через $n$ количество юношей и девушек, а через $x$ — количество юношей, отправивших по 5 писем.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Общее количество отправленных писем равно $5x+16(n-x)=16n-11x$. Используйте условия делимости и сравните эту сумму с суммой различных неотрицательных количеств писем.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
В пунктах а) и б) исследуйте равенство или делимость $16n-11x$. В пункте в) примените неравенство $0+1+\dots+(n-1)\leqslant16n-11x$ и учтите, что $x\geqslant2$.