Последовательность сумм и количеств
В течение $n$ дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день, кроме первого, сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
Решите три пункта задачи.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем а) Может ли быть больше 6? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни? | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте через $k_i$ количество чисел, записанных в $i$-й день, а через $S_i$ — их сумму. Учтите, что $1 \leqslant a \leqslant 5$ для каждого записанного числа.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Имеют место неравенства $k_1>k_2>\dots>k_n$ и $S_1<S_2<\dots<S_n$, причём $S_i\leqslant 5k_i$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
В пункте в) из условия $S_1=5$ следует $k_1\leqslant 5$. Проверьте отдельно возможные значения $n$ и максимально увеличивайте последующие суммы, сохраняя их строгий рост.