Делимость средних арифметических
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11? в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом Найдите наименьшее возможное значение | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Сравните суммы двух наборов из $k$ чисел, отличающихся только одним числом, отдельно для $k=3,4,5,6$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из условия следует, что разность любых двух записанных чисел делится на каждое из чисел $3,4,5,6$, а значит, делится на $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)=60$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Все числа имеют вид $21+60t$. Для отношения $b=na$ разделите сравнение $na\equiv a\equiv21\pmod{60}$ на $3$ и рассмотрите остатки по модулю $20$.