Делимость средних арифметических
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11? в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом Найдите наименьшее возможное значение | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается шешімнің барысын жазу, жол емес. Шешімді қағазға жазып, салыстырыңыз с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Талдауды ашу1Мягкая — с чего смотретьдеңгей 1 из 3
Сравните суммы двух наборов из $k$ чисел, отличающихся только одним числом, отдельно для $k=3,4,5,6$.
2Жетекші — қандай сандарды есептеудеңгей 2 из 3
Из условия следует, что разность любых двух записанных чисел делится на каждое из чисел $3,4,5,6$, а значит, делится на $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)=60$.
3Тікелей — іс жүзінде шешімдеңгей 3 из 3
Все числа имеют вид $21+60t$. Для отношения $b=na$ разделите сравнение $na\equiv a\equiv21\pmod{60}$ на $3$ и рассмотрите остатки по модулю $20$.