Решение: Делимость средних арифметических
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Решение по шагам
7 шаговПусть $a$ и $b$ — любые два записанных числа. Для фиксированного $k\in\{3,4,5,6\}$ выберем ещё $k-1$ чисел, не совпадающих с $a$ и $b$. Средние арифметические наборов с $a$ и с $b$ целые, поэтому разность сумм делится на $k$. Следовательно, $a-b$ делится на $k$.
$$a-b\equiv0\pmod{k},\quad k=3,4,5,6$$Значит, разность любых двух чисел делится на наименьшее общее кратное чисел $3,4,5,6$, то есть на $60$. Так как одно из чисел равно $30021$ и $30021\equiv21\pmod{60}$, каждое записанное число имеет вид $21+60t$.
$$a_i\equiv30021\equiv21\pmod{60}$$Число $351$ не подходит, поскольку $351\equiv51\pmod{60}$, а не $21$. Поэтому в пункте а) ответ отрицательный.
$$351\not\equiv21\pmod{60}$$Если отношение двух чисел равно $11$, то для некоторых записанных чисел $a$ и $b$ выполняется $b=11a$. Но $a\equiv21\pmod{60}$, поэтому $11a\equiv11\cdot21\equiv51\pmod{60}$, тогда как $b\equiv21\pmod{60}$. Противоречие. Поэтому в пункте б) ответ отрицательный.
$$11a\equiv11\cdot21\equiv51\not\equiv21\pmod{60}$$Пусть $b=na$, где $n$ — целое положительное число, а $a$ и $b$ записаны на доске. Число $a$ делится на $3$, но не делится на $4$ и $5$. Запишем $a=3u$. Из $a\equiv21\pmod{60}$ следует $u\equiv7\pmod{20}$. Условие $b=na\equiv21\pmod{60}$ даёт $nu\equiv7\pmod{20}$. Так как $u\equiv7\pmod{20}$, получаем $7n\equiv7\pmod{20}$, откуда $n\equiv1\pmod{20}$.
$$a=3u,\quad u\equiv7\pmod{20},\quad nu\equiv7\pmod{20},\quad 7n\equiv7\pmod{20}$$Значение $n=1$ невозможно, поскольку числа на доске различны. Поэтому наименьшее возможное значение — $n=21$.
$$n\equiv1\pmod{20},\quad n>1\Rightarrow n\ge21$$Значение $21$ достигается: можно взять числа $21$ и $441=21\cdot21$, а также любые восемь других различных чисел вида $21+60t$, включая $30021$. Для любого набора из $k=3,4,5,6$ таких чисел его сумма сравнима с $21k$ по модулю $60$, поэтому делится на $k$.
$$\sum_{i=1}^{k}(21+60t_i)=21k+60\sum_{i=1}^{k}t_i\equiv0\pmod{k}$$а) Нет. б) Нет. в) Наименьшее возможное значение $n=21$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Делают вывод только о делимости разностей на одно число, например на $3$, и не объединяют условия для $3,4,5,6$.
Ошибочно считают, что из $b=na$ следует $n\equiv1\pmod{60}$; после сокращения на общий множитель $3$ нужно работать по модулю $20$.
Не доказывают достижимость значения $n=21$ конкретным набором чисел.
Допускают значение $n=1$, хотя отношение двух различных записанных чисел не может быть равно единице.