Решение: Фотографии за несколько дней
Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
Решение по шагам
8 шаговПусть фотографирование длилось $k$ дней. Сумма фотографий Маши равна $\dfrac{k(2m+k-1)}{2}$, а сумма фотографий Наташи — $\dfrac{k(2n+k-1)}{2}$.
По условию разность сумм равна 1001:
$$\frac{k(2n+k-1)}{2}-\frac{k(2m+k-1)}{2}=k(n-m)=1001$$Число $1001=7\cdot11\cdot13$. При $k=7$ получаем $n-m=143$, то есть такой вариант возможен. При $k=8$ число $1001$ на 8 не делится, поэтому такой вариант невозможен.
В последней день Маша сделала $m+k-1<40$ фотографий. Так как количество фотографий целое, $m+k-1\leq39$, откуда $m\leq40-k$. Для фиксированного $k$ сумма фотографий Наташи возрастает с ростом $m$, поэтому берём $m=40-k$.
Сумма фотографий Наташи равна:
$$S_N=\frac{k(2n+k-1)}{2}=km+1001+\frac{k(k-1)}{2}$$После подстановки $m=40-k$ получаем:
$$S_N=1001+\frac{79k-k^2}{2}$$Из делителей $1001$, для которых можно иметь положительное $m=40-k$, подходят $k=7$, $11$ и $13$. Значения суммы равны соответственно $1253$, $1375$ и $1430$. Максимум достигается при $k=13$.
При $k=13$ имеем $m=27$, $n-m=77$, поэтому $n=104$. В последний день Маша сделала $27+12=39$ фотографий, что удовлетворяет условию.
а) Да, при 7 днях. б) Нет, при 8 днях. в) Наибольшее суммарное число фотографий Наташи равно 1430.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что разность сумм арифметических прогрессий равна $k(n-m)$.
Проверяют делимость числа 1001 только на 7 и не рассматривают остальные делители.
Используют условие последнего дня как $m+k-1\leq40$, хотя по условию число фотографий меньше 40.
Не проверяют, что найденные начальные количества фотографий являются допустимыми.