Решение: Ходы с натуральными числами
Из пары натуральных чисел $(a; b)$ за один ход можно получить пару $(a+2; b-1)$ или $(a-1; b+2)$ при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $(5; 7)$.
а) Можно ли за 50 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 100?
б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 400?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 100?
Решение по шагам
10 шаговПусть $x$ — число ходов $(a,b)\to(a+2,b-1)$, а $y$ — число ходов $(a,b)\to(a-1,b+2)$. Тогда после этих ходов
$$a=5+2x-y,\quad b=7-x+2y,\quad n=x+y$$а) При $n=50$ имеем $y=50-x$. Поэтому
$$a=5+2x-(50-x)=3x-45,\quad b=7-x+2(50-x)=107-3x$$Условие $a=100$ даёт $3x-45=100$, то есть $x=\frac{145}{3}$, что невозможно. Условие $b=100$ даёт $107-3x=100$, то есть $x=\frac{7}{3}$, что также невозможно. Следовательно, получить число 100 за 50 ходов нельзя.
б) Сумма чисел после каждого хода увеличивается на 1, так как при любом ходе одно число увеличивается на 2, а другое уменьшается на 1. Начальная сумма равна $5+7=12$.
$$a+b=12+n$$Чтобы сумма стала равна 400, необходимо
$$12+n=400,\quad n=388$$Такое число ходов достижимо: например, можно чередовать ходы двух типов, поддерживая оба числа положительными.
в) После $n$ ходов сумма равна $12+n$. Если оба числа не превосходят 100, то их сумма не превосходит 200. Поэтому
$$12+n\le 200,\quad n\le 188$$Значение $n=188$ невозможно. При $x+y=188$ получаем
$$a=5+2x-y=3x-183$$Чтобы при таком числе ходов оба числа не превосходили 100, а их сумма была равна 200, в конце должна получиться пара $(100;100)$. Но равенство $3x-183=100$ даёт $x=\frac{283}{3}$, что не является целым числом.
Покажем, что 187 ходов возможны. Сделаем 93 раза подряд два хода: сначала $(a,b)\to(a+2,b-1)$, затем $(a,b)\to(a-1,b+2)$. Каждая такая пара ходов увеличивает оба числа на 1. После 93 пар ходов получим $(98;100)$, а ещё одним ходом первого типа — $(100;99)$. На каждом промежуточном шаге оба числа положительны и не превосходят 100.
а) Нет. б) 388 ходов. в) Наибольшее число ходов — 187.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что число ходов каждого типа должно быть целым неотрицательным.
Считают, что сумма чисел сохраняется, хотя после каждого хода она увеличивается на 1.
Для пункта в) доказывают только верхнюю границу, но не показывают последовательность ходов, на которой она достигается.
Проверяют ограничение только для конечной пары, не учитывая условие после каждого хода.