Решение: Числа с ограниченными произведениями
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Решение по шагам
7 шаговРасположим числа на доске в порядке возрастания: $a_1<a_2<\dots<a_n$. Тогда произведение двух наименьших чисел должно быть больше 25, а произведение двух наибольших — меньше 85.
$$a_1a_2>25,\qquad a_{n-1}a_n<85$$Для пяти чисел рассмотрим набор $5,6,7,8,10$. Произведение двух наименьших равно $30>25$, а произведение двух наибольших равно $80<85$. Все остальные попарные произведения находятся между ними, поэтому условие выполнено.
$$5\cdot6=30>25,\qquad 8\cdot10=80<85$$Следовательно, на доске может быть 5 чисел.
Для шести чисел наименьший возможный набор, удовлетворяющий условию для двух наименьших чисел, начинается с $5,6$. Минимально возможные шесть различных чисел тогда имеют вид $5,6,7,8,9,10$. Но произведение двух наибольших чисел в этом наборе равно $90>85$. При увеличении любого числа произведение двух наибольших не уменьшится, поэтому набор из шести чисел невозможен.
$$9\cdot10=90>85$$Рассмотрим четыре числа $a<b<c<d$. Если $d\geq11$, то из условия $cd<85$ следует $c\leq7$. При этом для выполнения $ab>25$ необходимо иметь $a\geq5$ и $b\geq6$, а значит $c\geq7$. Единственный возможный вариант с $d\geq11$ начинается с $5,6,7$, и его сумма не превосходит $5+6+7+12=30$.
Если $d=10$, то $c\leq8$. Для максимальной суммы можно взять наибольшие допустимые первые числа $6,7$, поэтому $a+b+c+d\leq6+7+8+10=31$. Этот набор действительно подходит: минимальное произведение равно $6\cdot7=42>25$, максимальное — $8\cdot10=80<85$.
При $d\leq9$ сумма четырёх различных чисел меньше либо равна $6+7+8+9=30$. Таким образом, наибольшая возможная сумма равна $31$.
а) Да, например $5,6,7,8,10$. б) Нет. в) Наибольшая сумма равна $31$, она достигается на наборе $6,7,8,10$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Проверяют только произведение двух наименьших и забывают проверить произведение двух наибольших.
Считают, что для шести чисел можно взять набор $5,6,7,8,9,10$, хотя $9\cdot10=90>85$.
Приводят набор из четырёх чисел с большой суммой, но не доказывают, что большей суммы быть не может.