Решение: Карточки и делимость
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-120$.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
Решение по шагам
7 шаговОбозначим количество синих карточек через $b$, а количество красных карточек через $r$. Тогда наибольшее число на синей карточке равно $r$, а наибольшее число на красной карточке равно $2b$.
Так как число $r$ написано на синей карточке и делится на 5, число $r$ положительно и делится на 5. Числа, кратные 5, от $-120$ до $r$, образуют последовательность $-115,-110,\ldots,r$. Их количество равно $\frac{r+120}{5}$. Поэтому $b\leq\frac{r+120}{5}$, то есть $5b\leq r+120$.
Чётные числа от $-120$ до $2b$ образуют последовательность $-118,-116,\ldots,2b$. Их количество равно $b+60$. Поэтому $r\leq b+60$.
Для пункта а) из условия $b+r=6$. Поскольку $r$ положительно и делится на 5, получаем $r=5$, $b=1$. Это возможно: на синей карточке написать число $5$, а на красных карточках — числа $-6,-4,-2,0,2$. Наибольшее красное число равно $2=2b$, а наибольшее синее число равно $5=r$.
Для пункта б) условие имеет вид $r=b+90$. Но ранее установлено, что $r\leq b+60$. Следовательно, равенство $r=b+90$ невозможно.
Для пункта в) из неравенств $5b\leq r+120$ и $r\leq b+60$ следует $5b\leq b+180$, поэтому $b\leq45$. Тогда общее количество карточек не превосходит $b+r\leq45+105=150$.
Оценка достигается при $b=45$ и $r=105$. На синих карточках можно записать все 45 чисел $-115,-110,\ldots,105$, кратных 5. На красных карточках можно записать все 105 чётных чисел от $-118$ до $90$. Условия выполнены: максимальное синее число равно $105=r$, а максимальное красное число равно $90=2b$.
а) Да, при $b=1$, $r=5$. б) Нет. в) Наибольшее количество карточек равно $150$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что число красных карточек $r$ само должно быть кратно 5.
Считать количество допустимых чисел, начиная с $-120$, хотя числа должны быть строго больше $-120$.
Забывать, что числа одного цвета должны быть различными, поэтому количество карточек не может превышать количество доступных чисел.
Проверять только необходимое неравенство и не приводить пример набора карточек для доказательства возможности.