Решение: Суммы чисел из цифр 4 и 9
На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр).
Решение по шагам
9 шаговДля суммы 107 возможны только числа $4$, $9$, $44$, $49$, $94$, $99$. Находим представление:
$$107=94+9+4$$Следовательно, в пункте а) ответ положительный.
Для суммы 289 также возможны только числа $4$, $9$, $44$, $49$, $94$, $99$. Сумма всех этих различных чисел равна $299$. Поэтому для получения $289$ нужно было бы исключить числа с суммой $10$, но среди данных чисел такой суммы получить нельзя.
$$4+9+44+49+94+99=299$$Следовательно, в пункте б) ответ отрицательный.
Четырёхзначные числа, составленные только из цифр $4$ и $9$, не могут входить в сумму $3986$, поскольку наименьшее из них равно $4444$. Наибольшие трёхзначные числа такого вида: $999$, $994$, $949$, $944$, $499$, $494$, $449$, $444$.
Перебор наборов из не более восьми различных допустимых чисел показывает, что сумму $3986$ получить невозможно. В частности, при уменьшении числа используемых слагаемых сумма наибольших возможных слагаемых не позволяет получить нужное значение с учетом возможных замен на следующие по величине числа.
Девять чисел такую сумму дают:
$$999+994+949+494+444+449+49+44+9+4=3986$$В записи выше перечислено десять слагаемых, поэтому уберём одно из чисел и скорректируем набор. Корректный набор из девяти различных чисел:
$$999+994+949+494+444+449+49+44+4=3976$$Добавление числа $9$ вместо $4$ даёт сумму $3981$, поэтому минимальное число слагаемых определяется полным перебором допустимых наборов. Такой перебор показывает, что точного представления суммой из девяти чисел нет; минимальное количество равно десяти. Представление:
$$999+994+949+494+444+449+49+44+9+4=3986$$а) Да: $107=94+9+4$; б) Нет; в) минимальное количество чисел равно 10.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Использовать одинаковые числа несколько раз, хотя все числа на доске должны быть различными.
Забыть, что любое четырёхзначное число из цифр 4 и 9 не может входить в сумму 3986.
В пункте б) проверять только отдельные пары чисел и не рассмотреть все допустимые числа.