Решение: Числа с кратными суммами
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $n$ и его квадрат $n^2$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Решение по шагам
7 шаговПусть среди записанных чисел есть $a$, $b$, $c$, $d$, $e$. Суммы любых трёх чисел делятся на 3. Рассмотрим две тройки $a,b,c$ и $a,b,d$. Их суммы делятся на 3, поэтому разность сумм также делится на 3. Значит, $c-d$ делится на 3. Следовательно, любые два записанных числа имеют одинаковые остатки при делении на 3.
Аналогично, сравнивая суммы двух пятёрок, имеющих четыре общих числа, получаем, что разность любых двух записанных чисел делится на 5. Поэтому все записанные числа имеют одинаковый остаток при делении на 5.
Следовательно, любые два записанных числа сравнимы по модулю 15: $a \equiv b \pmod{15}$.
Для пункта а): $305 \equiv 5 \pmod{15}$, а $1511 \equiv 11 \pmod{15}$. Остатки различны, поэтому эти числа одновременно записаны быть не могут.
Для пункта б): если среди чисел есть 305 и квадрат другого числа $m^2$, то должно выполняться $m^2 \equiv 305 \equiv 5 \pmod{15}$. Но квадрат по модулю 3 может иметь только остаток 0 или 1, а число 5 имеет остаток 2 по модулю 3. Значит, это невозможно.
Для пункта в) числа $n$ и $n^2$ должны иметь одинаковый остаток по модулю 15, поэтому $n^2 \equiv n \pmod{15}$. Проверяем натуральные числа начиная с 2: числа 2, 3, 4 и 5 этому условию не удовлетворяют, а $6^2=36$ и $36 \equiv 6 \pmod{15}$.
Возможность записать десять различных чисел подтверждается примером: $6, 21, 36, 51, 66, 81, 96, 111, 126, 141$. Все они сравнимы с 6 по модулю 15, и среди них есть $6$ и $6^2=36$.
а) Нет. б) Нет. в) Наименьшее возможное значение $n$ равно 6.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сравнивают сами средние арифметические вместо сумм, не учитывая одинаковое количество слагаемых.
Делают вывод только о сравнимости по модулю 3 или только по модулю 5.
Забывают проверить, что найденное значение $n$ позволяет составить десять различных чисел.
Считают $n=1$ допустимым, хотя число и его квадрат должны быть различными записанными числами.