Решение: Монеты и минимальная сумма
На столе лежат $N$ монет по 2 рубля и $(1200-N)$ монет по 5 рублей, где $N$ — натуральное число от 1 до 1199. Известно, что при выборе любых 500 монет сумма денег в них будет не меньше четверти общей суммы денег на столе. Исследуйте, может ли $N$ равняться 400, может ли $N$ равняться 600, и определите количество всех возможных значений $N$.
Решение по шагам
8 шаговОбщая сумма денег на столе составляет
$$S=2N+5(1200-N)=6000-3N$$Рассмотрим случай $N\geq 500$. Тогда можно выбрать 500 монет по 2 рубля, и это будет наименьшая возможная сумма среди любых наборов из 500 монет. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы
$$1000\geq\frac{6000-3N}{4}$$Решая неравенство, получаем
$$4000\geq6000-3N\quad\Longrightarrow\quad N\geq\frac{2000}{3}\quad\Longrightarrow\quad N\geq667$$Теперь рассмотрим случай $N<500$. В набор с наименьшей суммой войдут все $N$ монет по 2 рубля и ещё $500-N$ монет по 5 рублей. Поэтому
$$2N+5(500-N)\geq\frac{6000-3N}{4}$$После преобразований получаем
$$2500-3N\geq\frac{6000-3N}{4}\quad\Longrightarrow\quad10000-12N\geq6000-3N\quad\Longrightarrow\quad N\leq\frac{4000}{9}$$Так как $N$ — целое число и $N<500$, в этом случае допустимы значения $N=1,2,\ldots,444$.
Во втором случае допустимы значения $N=667,668,\ldots,1199$. Поэтому $N=400$ может принимать указанное значение, а $N=600$ — не может.
Количество допустимых значений равно
$$444+(1199-667+1)=444+533=977$$а) Да, $N=400$ возможно. б) Нет, $N=600$ невозможно. в) Число $N$ может принимать 977 различных значений.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Рассматривать только один случай и не разделять анализ по условию $N<500$ или $N\geq500$.
Искать максимальную, а не минимальную сумму среди любых 500 монет.
Забывать, что $N$ — целое натуральное число.
Неверно считать количество целых чисел в отрезках $[1;444]$ и $[667;1199]$.