Решение: Удаление цифр из числа
Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Петя переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C$.
а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $A > 150$?
б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$, если $540 \leq A < 600$?
в) Найдите наибольшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A = B \cdot C$.
Решение по шагам
7 шаговПусть цифры числа $A$ равны $a$, $b$, $c$, где $a\neq 0$. Тогда $A=100a+10b+c$. После вычёркивания одной цифры можно получить числа $10b+c$, $10a+c$ и $10a+b$.
Рассмотрим произведение $(10b+c)(10a+c)$. Условие равенства произведения числу $A$ даёт $(10b+c)(10a+c)=100a+10b+c$. После преобразования получаем $(10b+c)(10a+c-1)=100a$. Проверка цифр показывает, что решений нет.
Рассмотрим произведение $(10b+c)(10a+b)$. Из равенства $(10b+c)(10a+b)=100a+10b+c$ получаем $(10b+c)(10a+b-1)=100a$. Единственная возможность для цифр — $b=1$ и $c=0$. Поэтому $A=100a+10$, а множители равны $10$ и $10a+1$.
Рассмотрим произведение $(10a+c)(10a+b)$. При $a\geq 2$ левая часть не меньше $20\cdot20=400$, а после более точного сравнения с $A$ равенство невозможно. При $a=1$ получаем $c(9+b)=0$, откуда $c=0$. Тогда $A=100+10b$, а множители равны $10$ и $10+b$.
Таким образом, возможные числа имеют вид $A=100+10b$ или $A=100a+10$. В частности, при $A>150$ подходит, например, $A=160$: после вычёркивания цифры $6$ получают $10$ и $16$, причём $10\cdot16=160$.
В промежутке $540\leq A<600$ чисел указанного вида нет: числа вида $100a+10$ в этом промежутке отсутствуют, а числа вида $100+10b$ меньше $200$.
Наибольшее возможное число второго вида получается при $a=9$: $A=910$. Действительно, из числа $910$ можно получить числа $10$ и $91$, и $10\cdot91=910$.
а) Да, например $A=160$, $B=10$, $C=16$. б) Нет. в) $A=910$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать все три варианта вычёркивания цифры.
Считать, что числа $B$ и $C$ должны получаться вычёркиванием разных цифр.
Привести пример для пункта а), но не доказать невозможность в пункте б) и максимальность в пункте в).