Карточки и делимость
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-60$.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?
б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки? б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек? в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе? | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте через $b$ количество синих карточек, а через $r$ — количество красных. Сколько существует целых чисел, кратных 3, от $-59$ до $r$ и чётных чисел от $-59$ до $2b$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как наибольшее синее число равно $r$, число $r$ должно делиться на 3. Число доступных синих значений равно $\frac{r}{3}+20$, а число доступных красных значений равно $b+30$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получите неравенства $b\leq\frac{r}{3}+20$ и $r\leq b+30$, а также учтите, что для построения набора синих карточек достаточно иметь $b\leq\frac{r}{3}+20$. Для максимума используйте более сильную связь $r\leq b+20$, возникающую из количества кратных 3, и проверьте конкретные наборы при $r=3$, $r=150$ и предельном значении.