Решение: Карточки и делимость
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-60$.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?
б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?
Решение по шагам
8 шаговОбозначим через $b$ количество синих карточек, а через $r$ — количество красных карточек. По условию наибольшее синее число равно $r$, поэтому $r$ — положительное число, делящееся на 3. Наибольшее красное число равно $2b$.
Все синие числа — различные числа, кратные 3, большие $-60$ и не превосходящие $r$. Это числа $-57,-54,\ldots,r$. Их количество равно $\frac{r}{3}+20$, поэтому $b\leq\frac{r}{3}+20$.
Все красные числа — различные чётные числа, большие $-60$ и не превосходящие $2b$. Это числа $-58,-56,\ldots,2b$. Их количество равно $b+30$, поэтому $r\leq b+30$. Для получения максимального значения $r$ достаточно учитывать первое неравенство: $b\leq\frac{r}{3}+20$, или $r\geq3b-60$.
Для существования набора синих карточек с наибольшим числом $r$ необходимо, чтобы выбранное количество $b$ не превышало число доступных кратных 3. Для красных карточек необходимо иметь $r$ различных чётных чисел с максимумом $2b$.
При $r=3$ можно взять $b=1$. На синей карточке записать число $3$, а на красных карточках — числа $-2$, $0$, $2$. Условия выполнены, значит ответ на пункт а) положительный.
При $r=150$ необходимо, чтобы на синей карточке было наибольшее число $150$. Для выбора $b$ должно выполняться $b\leq\frac{150}{3}+20=70$. Одновременно для 150 различных красных чётных чисел с максимумом $2b$ нужно $150\leq b+30$, то есть $b\geq120$. Эти условия несовместимы, поэтому 150 красных карточек быть не может.
Объединим ограничения $b\leq\frac{r}{3}+20$ и $r\leq b+30$. Из второго $b\geq r-30$. Поэтому $r-30\leq\frac{r}{3}+20$, откуда $\frac{2r}{3}\leq50$ и $r\leq75$. Так как $r$ делится на 3, возможный максимум не превосходит $75$.
Проверим значение $r=75$. Тогда можно взять $b=45$: число доступных синих значений равно $75/3+20=45$, а число доступных красных значений равно $45+30=75$. Значит, можно использовать все числа $-57,-54,\ldots,75$ на синих карточках и все числа $-58,-56,\ldots,90$ на красных карточках. Условия выполнены.
а) Да, например при $b=1$ и $r=3$. б) Нет: для $r=150$ требуется одновременно $b\leq70$ и $b\geq120$. в) Наибольшее количество красных карточек равно $75$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что наибольшее синее число равно количеству красных карточек, поэтому количество красных карточек должно делиться на 3.
Неправильно считают количество чисел, больших $-60$: первое допустимое чётное число равно $-58$, а первое допустимое кратное 3 — $-57$.
Проверяют только необходимое неравенство, но не приводят конкретную конструкцию карточек для доказательства достижимости максимума.
Считают, что числа на карточках двух цветов должны быть различными между собой; по условию совпадения между цветами разрешены.