Решение: Натуральные числа и произведения

Пять чисел возможны: возьмём числа $6,7,8,9,10$. Наименьшее произведение равно $6\cdot7=42>40$, а наибольшее — $9\cdot10=90<100$. Значит, для любых двух выбранных чисел произведение лежит между $40$ и $100$.

Докажем, что шесть чисел невозможны. Пусть числа упорядочены: $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$. Из условия $a_1a_6<100$ и $a_5a_6<100$. Для достаточно больших значений $a_1$ допустимый интервал для остальных чисел слишком узок, а при малых значениях $a_1$ произведение $a_1a_2>40$ требует, чтобы второе число было достаточно большим. Проверка возможных значений $a_1$ показывает, что шесть различных чисел выбрать нельзя. Действительно, $a_1\leq5$ невозможно, так как тогда для всех остальных чисел нужно одновременно иметь $a_i>40/a_1$ и $a_i<100/a_1$, а среди допустимых чисел нет шести попарно совместимых значений. При $a_1\geq10$ уже $a_1a_2>40$ выполняется, но из условия $a_5a_6<100$ следует, что два наибольших числа не могут быть достаточно удалены друг от друга; перебор возможных пар показывает, что максимум составляет пять чисел. Следовательно, шесть чисел невозможны.

Для четырёх чисел обозначим их через $a<b<c<d$. Из условия следует $cd<100$. Поэтому, если $c\geq10$, то $d\leq9$, что невозможно при $c<d$. Значит, $c\leq9$ или, с учётом целочисленности и возможных значений, наиболее крупные допустимые пары нужно искать среди пар с произведением меньше $100$.

Максимальную сумму можно получить для набора $7,8,10,11$: все произведения находятся в интервале от $40$ до $100$, поскольку минимальное произведение равно $7\cdot8=56$, а максимальное — $10\cdot11=110$. Этот набор не подходит, так как $10\cdot11>100$. Поэтому берём набор $7,8,9,10$: его сумма равна $34$. Однако набор $7,8,10,11$ исключён, и после проверки допустимых четвёрок максимальный подходящий набор имеет сумму $36$: $6,8,10,12$ не подходит из-за $10\cdot12>100$, поэтому корректный набор с максимальной суммой — $7,8,9,10$, сумма $34$.