Решение: Числа по кругу
По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим числа, идущие по кругу, через $a_1,a_2,\ldots,a_N$, считая индексы по модулю $N$. Из делимости сумм четырёх последовательных чисел получаем
$$a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}\equiv 0\pmod 4$$Вычитая два соседних сравнения, получаем периодичность остатков по модулю 4:
$$a_i\equiv a_{i+4}\pmod 4$$Пусть $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}$ и $a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}$ — две нечётные суммы. Их разность нечётна не может быть, поэтому $a_i$ и $a_{i+3}$ имеют одинаковую чётность:
$$a_i\equiv a_{i+3}\pmod 2$$Если $3\nmid N$, перемещение на 3 позиций обходит все элементы круга, поэтому все числа имеют одинаковую чётность. Их сумма трёх соседних чисел нечётна, значит все числа нечётны.
Если $4\nmid N$, из сравнения $a_i\equiv a_{i+4}\pmod 4$ следует, что все числа имеют один и тот же остаток по модулю 4. Так как они нечётны, этот остаток равен 1 или 3. Среди чисел от 1 до 365 имеется не более 92 чисел с фиксированным нечётным остатком по модулю 4.
Рассмотрим случай, когда $N$ делится на 4 и на 3, то есть $12\mid N$. Чётность последовательности имеет период 3, а остатки по модулю 4 — период 4. Поэтому чётность, являющаяся чётностью остатка по модулю 4, имеет одновременно периоды 3 и 4, а значит, постоянна. Все числа снова должны быть нечётными.
Всего от 1 до 365 имеется $183$ нечётных чисел. Но если $N$ не кратно 12, то предыдущие рассуждения дают не более 92 элементов. Если $N$ кратно 12, то ближайшее к 183 возможное значение не превосходит 183 и кратно 12, то есть $N\le 180$.
Значение $N=180$ достижимо. Возьмём последовательность остатков по модулю 4, повторяющуюся блоком $1,3,1,3$, и заполним 180 позиций различными нечётными числами с соответствующими остатками: по 45 чисел каждого из остатков 1 и 3. Тогда каждые четыре числа имеют сумму, кратную 4, а любые три числа нечётны по чётности.
Для $N=200$ значение невозможно: так как $3\nmid 200$, все числа должны быть нечётными, но различных нечётных чисел от 1 до 365 только 183.
Для $N=109$ значение возможно: можно взять любые 109 различных чисел, сравнимых с 1 по модулю 4, например первые 109 чисел из последовательности $1,5,9,\ldots,361$. Тогда сумма любых четырёх делится на 4, а сумма любых трёх нечётна.
а) Нет. б) Да. в) Наибольшее значение $N$ равно $180$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что из нечётности суммы трёх чисел каждое из них обязано быть нечётным без дополнительного анализа.
Не учитывать циклическое расположение чисел при переходе от $a_i$ к $a_{i+3}$ или $a_{i+4}$.
Утверждать достижимость $N=183$, не проверив, что при $N$, кратном 3, но не кратном 4, все числа должны иметь один остаток по модулю 4.
Забывать привести пример, подтверждающий возможность значения $N=109$ и достижимость $N=180$.