Решение: Сумма из единиц
На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму $136$: $111+11+1+1+1+1+1+1+1$. а) Можно ли получить сумму $132$, если $n=10$? б) Можно ли получить сумму $132$, если $n=15$? в) Для скольких значений $n$ можно получить сумму $132$?
Решение по шагам
6 шаговЛюбое слагаемое в полученной сумме состоит из подряд идущих единиц. Слагаемое из четырёх и более единиц больше либо равно $1111$, поэтому в сумме $132$ могут быть только слагаемые $1$, $11$ и $111$.
$$132=111x+11y+z$$Число написанных единиц равно сумме длин всех слагаемых:
$$n=3x+2y+z$$Для пункта а) при $n=10$ имеем $132\equiv6\pmod 9$, а сумма всех слагаемых сравнима по модулю 9 с числом написанных единиц: $132\equiv n\pmod 9$. Но $10\equiv1\pmod9$, поэтому получить сумму $132$ невозможно.
Для пункта б) при $n=15$ имеем представление $132=111+11+10\cdot1$. Оно использует $3+2+10=15$ единиц, поэтому сумму $132$ получить можно.
Рассмотрим все решения уравнения $111x+11y+z=132$. Так как $x$ может быть равен только 0 или 1. При $x=0$: $z=132-11y$, где $0\le y\le12$, и $n=2y+z=132-9y$. Это даёт значения $n=132,123,114,105,96,87,78,69,60,51,42,33,24$.
При $x=1$ получаем $11y+z=21$. При $y=0$ имеем $z=21$ и $n=24$, а при $y=1$ имеем $z=10$ и $n=15$. Новые значения: $15$ и $24$; значение $24$ уже было получено ранее.
а) Нет. б) Да: $132=111+11+10\cdot1$. в) Для 14 значений $n$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают учитывать, что количество единиц равно сумме длин всех слагаемых.
Допускают слагаемое из четырёх единиц, хотя оно больше $132$.
Считают значение $n=24$ дважды.
Используют только признак делимости на 9 и не проверяют существование разбиения.