Решение: Числа двух цветов
На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше $1395=3+6+\ldots+90$, если все числа на доске кратны 3?
б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна $1067$?
в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна $1067$?
Решение по шагам
9 шагова) Если все 30 чисел кратны 3, то среди них не менее 30 различных зелёных чисел либо числа, кратные 3 и одновременно кратные 7. В любом случае 30 чисел можно упорядочить так, что каждое из них не меньше соответствующего числа последовательности $3,6,\ldots,90$. Поэтому сумма не меньше
$$3(1+2+\ldots+30)=3\cdot\frac{30\cdot31}{2}=1395$$Следовательно, сумма меньше $1395$ быть не может. Ответ на пункт а): нет.
б) Если красным является ровно одно число, то остальные 29 чисел — различные зелёные числа, кратные 3. Их сумма не меньше
$$3(1+2+\ldots+29)=3\cdot\frac{29\cdot30}{2}=1305$$Красное число натуральное и кратно 7, поэтому оно не меньше 7. Значит, общая сумма не меньше $1305+7=1312$, что больше $1067$. Следовательно, ровно одно красное число невозможно.
в) Пусть красных чисел $r$, тогда зелёных чисел $30-r$. Минимальная возможная сумма при заданном $r$ оценивается выражением
$$S_{\min}(r)=3\cdot\frac{(30-r)(31-r)}{2}+7\cdot\frac{r(r+1)}{2}$$Для $r=5$ получаем
$$S_{\min}(5)=3\cdot\frac{25\cdot26}{2}+7\cdot\frac{5\cdot6}{2}=975+105=1080>1067$$Значит, пяти красных чисел недостаточно. Для $r=6$ получаем
$$S_{\min}(6)=3\cdot\frac{24\cdot25}{2}+7\cdot\frac{6\cdot7}{2}=900+147=1047$$Сумму $1067$ можно получить, увеличив минимальную сумму на $20$. Например, взять зелёные числа $3,6,\ldots,69,78$ вместо $3,6,\ldots,72$; это увеличивает зелёную сумму на $6$. В качестве красных взять $7,14,21,28,35,56$ вместо $7,14,21,28,35,42$; это увеличивает красную сумму на $14$. Итого увеличение равно $6+14=20$.
Получается 24 зелёных и 6 красных числа, причём внутри каждого цвета числа различны, а их общая сумма равна $1047+20=1067$. Следовательно, минимальное количество красных чисел равно 6.
а) Нет. б) Нет. в) Наименьшее количество красных чисел — 6.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают, что числа одного цвета должны быть различными.
Считают, что все 30 чисел должны быть различными, хотя зелёное число может совпадать с красным.
Для пункта в) проверяют только нижнюю оценку, но не показывают пример набора чисел с суммой $1067$.
Забывают доказать невозможность пяти или меньшего количества красных чисел.