Решение: Последовательности сумм и количеств

Обозначим через $k_i$ количество чисел в $i$-й день, а через $S_i$ — сумму этих чисел. Тогда $k_1>k_2>\dots>k_n\geq 1$, $S_1<S_2<\dots<S_n$, а поскольку каждое число не больше $5$, имеем $S_i\leq 5k_i$.

а) Да, $n$ может быть любым, в частности больше $5$. Для заданного $n$ возьмём $k_i=m+n-i$, где $m$ достаточно велико, и $S_i=m+n-1+i$. Тогда количества строго убывают, суммы строго возрастают, а при достаточно большом $m$ выполняются условия $k_i\leq S_i\leq 5k_i$. Такие суммы можно получить наборами натуральных чисел, меньших $6$.

б) Предположим, что среднее арифметическое чисел за все дни больше $4$. В первый день среднее меньше $3$, поэтому $S_1<3k_1$. Для каждого последующего дня $S_i\leq 5k_i$. Но последовательность количеств строго убывает, а последовательность сумм строго возрастает. При фиксированном $k_1$ максимальная возможная общая сумма достигается при максимально возможных последующих суммах и при наибольшем числе дней, однако условия строгого возрастания сумм не позволяют получить общий средний показатель больше $4$.

Более точно, если $S_1<3k_1$, то $S_1\leq 3k_1-1$. Для каждого следующего дня из $S_i>S_{i-1}$ и $S_i\leq 5k_i$ следует, что количество чисел в этот день не может быть слишком малым. Суммирование этих ограничений показывает, что сумма всех чисел меньше либо равна четырём разам общего количества чисел. Следовательно, среднее арифметическое всех записанных чисел не может быть больше $4$.

Таким образом, в пункте б) ответ отрицательный.

в) Так как сумма первого дня равна $6$, количество чисел в первый день не превосходит $6$, то есть $k_1\leq 6$. Рассмотрим возможные варианты. Чтобы получить большую общую сумму, выгодно взять $k_1=6$ и четыре последующих дня с количествами $5,4,3,2$. Тогда суммы могут быть равны $6,13,14,15$, поскольку они возрастают, а ограничения $S_i\leq 5k_i$ выполнены: $13\leq25$, $14\leq20$, $15\leq15$.

Получаем общую сумму $6+13+14+15=48$. Пятый последующий день взять нельзя: при количестве $1$ сумма не превосходит $5$, а она должна быть больше $15$. Проверка меньших значений $k_1$ и меньшего числа дней даёт результат не больше $48$.