Решение: Количество чисел с последней цифрой 6
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
Решение по шагам
7 шаговПусть $k$ — количество чисел, оканчивающихся на цифру 6. Тогда $30-k$ чисел оканчиваются на цифру 2. Сумма последних цифр всех чисел равна $2(30-k)+6k=60+4k$.
Сумма всех чисел равна $2454$ и оканчивается на цифру 4. Поэтому $60+4k\equiv 4\pmod {10}$, откуда $4k\equiv 4\pmod {10}$ и $k\equiv 1\pmod 5$.
В пункте а) $k=15$, но $15\not\equiv 1\pmod 5$. Следовательно, поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6, быть не может.
Для пункта б) проверим $k=1$. Тогда 29 чисел должны оканчиваться на 2. Минимальная сумма 29 различных натуральных чисел, оканчивающихся на 2, равна $2+12+\dots+282=4118$, что уже больше $2454$. Поэтому ровно одного числа, оканчивающегося на 6, быть не может.
Возможные значения $k$ имеют вид $1,6,11,\ldots$. Значение $k=6$ также невозможно: минимальная сумма 24 чисел, оканчивающихся на 2, и 6 чисел, оканчивающихся на 6 равна $(2+12+\dots+232)+(6+16+\dots+56)=2808+186=2994>2454$.
Покажем, что $k=11$ возможно. Возьмём 18 чисел $2,12,22,\ldots,172$ и число $272$, а также 11 чисел $6,16,26,\ldots,106$. Все числа различны, 11 из них оканчиваются на 6, а их сумма равна $1748+272+616=2454$.
Следовательно, наименьшее возможное количество чисел, оканчивающихся на 6, равно 11.
а) Нет. б) Нет. в) 11.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Рассматривать только условие на последнюю цифру и не проверять, существуют ли соответствующие наборы различных чисел.
Неверно считать минимальную сумму чисел с заданной последней цифрой.
Не приводить пример набора чисел для доказательства возможности значения $k=11$.