Решение: Карточки с делителями и чётными числами
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-72$.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
Решение по шагам
8 шаговПусть $b$ — количество синих карточек, а $r$ — количество красных карточек. Тогда наибольшее число на красной карточке равно $2b$, а наибольшее число на синей карточке равно $r$.
Так как на синей карточке написано число, делящееся на 3, число $r$ должно быть кратно 3.
Числа, большие $-72$, кратные 3 и не превосходящие $r$, имеют вид $-69,-66,\ldots,0,3,\ldots,r$. Их количество равно $24+\dfrac r3$. Поэтому $b\leq 24+\dfrac r3$.
Чётные числа, большие $-72$ и не превосходящие $2b$, имеют вид $-70,-68,\ldots,-2,0,2,\ldots,2b$. Их количество равно $36+b$. Поэтому $r\leq b+36$.
Для пункта а) при четырёх карточках имеем $b+r=4$. С учётом того, что $r$ кратно 3 и $b,r\geq1$, получаем $b=1$, $r=3$. Это возможно: на синей карточке написать $3$, а на красных — $-2$, $0$, $2$.
Для пункта б) условие $r=b+60$ противоречит ограничению $r\leq b+36$. Следовательно, такая ситуация невозможна.
Для пункта в) из $r\leq b+36$ и $b\leq24+\dfrac r3$ получаем $b\leq24+\dfrac{b+36}{3}$, откуда $b\leq36$. Тогда $b+r\leq36+72=108$.
Равенство достигается при $b=36$ и $r=72$. В этом случае наибольшее синее число равно $72$, а наибольшее красное число равно $72$. Можно выбрать 36 различных кратных 3 от $-69$ до $72$ и 72 различных чётных числа от $-70$ до $72$.
а) Да, например $b=1$, $r=3$; б) Нет; в) наибольшее количество карточек равно $108$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что число $r$ должно быть кратно 3.
Неверно считают количество допустимых чётных чисел, исключая число 0.
Считают, что числа на синих и красных карточках не могут совпадать, хотя совпадение между цветами разрешено.
Доказывают только верхнюю оценку, но не приводят пример, достигающий её.