Решение: Числа на круге и делимость
По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3.
а) Может ли $N$ быть равным 360?
б) Может ли $N$ быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение $N$.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим остаток числа, стоящего на $i$-м месте, при делении на 3 через $a_i$. Из делимости любых четырёх соседних чисел получаем
$$a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}\equiv 0\pmod 3$$Для следующей четвёрки имеем аналогичное равенство. Вычитая первое равенство из второго, получаем
$$a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}-(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3})\equiv 0\pmod 3$$Следовательно, остатки повторяются через четыре позиции:
$$a_{i+4}\equiv a_i\pmod 3$$Сумма любых трёх соседних чисел не делится на 3. Но сумма трёх первых остатков периода равна минус четвёртому остатку, поскольку сумма всех четырёх остатков равна 0 по модулю 3. Поэтому каждый из четырёх остатков не может быть равен 0. Значит, все остатки равны 1 или 2.
Пусть в периоде из четырёх остатков ровно $k$ единиц. Тогда сумма остатков равна $k+2(4-k)=8-k$. Для делимости на 3 необходимо $8-k\equiv0\pmod3$, откуда $k=2$. Значит, в каждом периоде стоят два числа с остатком 1 и два числа с остатком 2.
Числа от 1 до 400 с остатком 1 при делении на 3 имеют вид $1,4,\ldots,400$, их количество равно $134$. Числа с остатком 2 имеют вид $2,5,\ldots,398$, их количество равно $133$.
Для $N=360$ потребовалось бы по $180$ чисел каждого из двух остатков, что невозможно: чисел с остатком 1 только $134$, а с остатком 2 только $133$. Поэтому в пункте а) ответ отрицательный.
Так как остатки повторяются через четыре позиции, при обходе круга должно выполняться $a_{i+4}=a_i$. Если $N$ не делится на 4, циклическое смещение на 4 позиций связывает все позиции или разбивает их на классы, несовместимые с наличием ровно двух остатков 1 и двух остатков 2 в периоде. В частности, при нечётном $N=149$ все остатки должны быть одинаковыми, что невозможно. Поэтому в пункте б) ответ отрицательный.
Число $N$ должно быть кратно 4 и не превосходить удвоенного количества чисел с наименьшим доступным остатком: $N\le 2\cdot133=266$. Наибольшее число, кратное 4 и не превосходящее 266, равно $264$.
Значение $N=264$ достижимо: возьмём 132 различных числа с остатком 1 и 132 различных числа с остатком 2 и расставим их по кругу с повторяющимся шаблоном остатков $1,1,2,2$. Сумма любых четырёх остатков равна $6$, а сумма любых трёх равна соответственно $4$, $5$, $5$ или $4$, то есть не делится на 3.
а) Нет. б) Нет. в) Наибольшее значение $N$ равно $264$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что числа должны быть различными.
Считать, что условие $a_{i+4}=a_i$ автоматически допускает любое значение $N$.
Неверно подсчитать количество чисел с остатками 1 и 2 среди чисел от 1 до 400.
Проверить только верхнюю оценку $N\le266$, но забыть, что $N$ должно быть кратно 4.